पूर्ण संख्याएँ – परिभाषा और गुण

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प्राकृतिक संख्याओं को सामान्यतः गणन संख्या के रूप में जाना जाता है। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में ‘कुछ नहीं’ या $0$ का प्रतिनिधित्व करने वाली कोई संख्या नहीं होती है। जब $0$ को प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में शामिल किया जाता है, तो यह पूर्ण संख्याओं का समुच्चय बन जाता है। $W = \{0, 1, 2, 3, , 4, 5, 6,…, \}$ द्वारा निरूपित पूर्ण संख्याओं का समुच्चय।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह, पूर्ण संख्याएँ भी संख्याओं के व्यापक समूह का एक भाग होती हैं जिन्हें वास्तविक संख्याएँ कहते हैं जिनमें पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं।

आइए इस लेख में पूर्ण संख्याओं के बारे में अधिक जानें।

पूर्ण संख्याएँ क्या हैं?

पूर्ण संख्याएं $0$ से शुरू होने वाली और $1$, $2$, $3$,… पर जाने वाली संख्याएं हैं। पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को $W$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $W = \{0, 1, 2, 3, , 4, 5,…, \}$। ‘तीन बिंदु’ का अर्थ है कि अनगिनत प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनकी कोई सीमा या अंत नहीं है।

पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का प्रतिनिधित्व

पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को दो प्रकार से निरूपित किया जा सकता है।

• स्टेटमेंट प्रारूप: W = $0$ से शुरू होने वाली संख्याओं का समुच्चय।
• समुच्चय प्रारूप: $W = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, … \}$

सबसे छोटी और सबसे बड़ी पूर्ण संख्या

चूंकि पूर्ण संख्याएं $0$ से शुरू होती हैं, इसलिए $0$ सबसे छोटी पूर्ण संख्या है। पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में अनगिनत (अनंत) संख्याएँ होती हैं, इसलिए कोई सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं होती है।

यदि आप कोई बड़ी पूर्ण संख्या चुनते हैं, तब भी आप उस संख्या से बड़ी पूर्ण संख्या प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, $100000000$ की संख्या के लिए, $100000001 \left(100000000 + 1 \right)$ अधिक है या $999999999999$ की संख्या के लिए, $100000000000 \left(999999999999 + 1\right)$ और अधिक है।

पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के बीच अंतर

पूर्ण संख्याएं $0$, $1$, $2$, $3$, … और इसी तरह की संख्याएं हैं, जबकि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में $1$ से शुरू होने वाली संख्याएं होती हैं (पूर्ण संख्याओं के सेट से $0$ हटा दी जाती हैं) और आगे बढ़ती हैं $2$, $3$, … पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के बीच अंतर निम्नलिखित हैं।

पूर्ण संख्याएँ	प्राकृतिक संख्याएँ
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है $W=\{0,1,2,3,…\}$	प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है $N= \{1,2,3,.. \}$
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $0$ है	सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $1$ है
शून्य को छोड़कर प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या है	सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं, परन्तु सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ नहीं होतीं

संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याएँ

पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। रेखा (वास्तव में एक किरण) संख्या $0$ से शुरू होती है और $0$ के दाईं ओर $1$, $2$, $3$, $4$, और इसी तरह आगे बढ़ती है।

पूर्ण संख्या रेखा (किरण) में एक प्रारंभिक बिंदु होता है जो संख्या $0$ का प्रतिनिधित्व करता है और शेष संख्याएं निरंतर अंतराल पर $0$ के दाईं ओर होती हैं। रेखा के दाईं ओर एक तीर द्वारा दिखाया गया है जिसका अर्थ है कि इसे अनंत तक बढ़ाया जा सकता है और इसमें अनंत (अनगिनत) संख्याएं हो सकती हैं।

पूर्ण संख्याओं के गुण

आप पूर्ण संख्याओं पर निम्नलिखित चार बुनियादी संक्रियाओं में से कोई भी कार्य कर सकते हैं।

• जोड़ 
• घटाव
• गुणा
• गुणा

इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन निम्नलिखित में से एक या अधिक गुण दिखाता है:

• संवरक गुण
• क्रमचयी गुण
• साहचर्य गुण
• वितरणात्मक गुण

आइए पूर्ण संख्याओं के इन गुणों को विस्तार से समझते हैं।

पूर्ण संख्याओं का संवरक गुण

संवरक गुण में कहा गया है कि यदि समुच्चय से कोई दो संख्याएँ एक अंकगणितीय ऑपरेशन द्वारा संचालित होती हैं तो उनका परिणाम भी उसी समुच्चय में होता है।

संवरक गुण को ऑपरेशंस जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग संवरक गुण प्रदर्शित नहीं करते हैं।

पूर्ण संख्याओं का जोड़ का संवरक गुण

इसमें कहा गया है कि जब दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो उनका योग भी एक पूर्ण संख्या होती है।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in W, \text {then } a + b \in W$।

उदाहरण के लिए, $6$ और $13$ पूर्ण संख्याएँ हैं, तो उनका योग $6 + 13 = 19$ भी एक पूर्ण संख्या है।

इसी तरह, $23$ और $49$ पूर्ण संख्याएं हैं, तो उनका योग $23 + 49 = 72$ भी एक पूर्ण संख्या है।

पूर्ण संख्याओं का गुणा का संवरक गुण

इसमें कहा गया है कि जब दो पूर्ण संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उनका गुणनफल भी एक पूर्ण संख्या होती है।

गणितीय रूप से, इसे $a, b \ in W, \text {then  } a \times b \in W$ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $8$ और $16$ पूर्ण संख्याएँ हैं, तो उनका गुणनफल  $8 \times 16 = 128$ भी एक पूर्ण संख्या है।

इसी तरह, $11$ और $35$ पूर्ण संख्याएं हैं, तो उनका गुणनफल $11 \times 35 = 385$ भी एक पूर्ण संख्या है।

नोट: ऑपरेशन घटाव और भाग संवरक गुण नहीं दर्शाते हैं।

पूर्ण संख्याओं का क्रमचयी गुण

क्रमचयी गुण एक ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

क्रमचयी गुण को ऑपरेशंस जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग प्रदर्शन क्रमचयी गुण नहीं दर्शाते हैं।

पूर्ण संख्याओं का जोड़ का क्रमचयी गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं के लिए उनका योग समान रहता है, भले ही संख्याओं के स्थान आपस में बदल दिए जाएं।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in W, \text {then } a + b = b + a$।

उदाहरण के लिए, $8$ और $14$ दो पूर्ण संख्याएँ हैं, $8 + 14 = 22$ और $14 + 8 = 22$ भी।

इसी तरह, दो पूर्ण संख्याओं के लिए, $78$ और $57$, $78 + 57 = 135$ और $57 + 78 = 135$।

पूर्ण संख्याओं का गुणन का क्रमचयी गुण

क्रमचयी गुण एक ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

क्रमचयी गुण को ऑपरेशंस जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग क्रमचयी गुण नहीं दर्शाते हैं।  

पूर्ण संख्याओं का जोड़ का क्रमचयी गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं के लिए उनका योग समान रहता है, भले ही संख्याओं के स्थान आपस में बदल दिए जाएं।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in W, \text {then } a + b = b + a$।

उदाहरण के लिए, $21$ और $18$ दो पूर्ण संख्याएं हैं। $21 + 18 = 39$ और $18 + 21 = 39$ भी।

इसी तरह, दो पूर्ण संख्याओं के लिए, $162$ और $68$, $162 + 68 = 230$ और $68 + 162 = 230$।

पूर्ण संख्याओं का गुणन का क्रमचयी गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं के लिए उनका गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं की स्थिति आपस में बदली गई हो।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in W, \text {then } a \times b = b \times a$।

उदाहरण के लिए, $11$ और $9$ दो पूर्ण संख्याएं हैं। $11 \times 9 = 99$ और साथ ही $9 \times 11 = 99$।

इसी तरह, दो पूर्ण संख्याओं के लिए, $21$ और $18$, $21 \times 18 = 378$ और $18 \times 21 = 378$।

पूर्ण संख्याओं का साहचर्य गुण

साहचर्य गुण एक ऑपरेशन में संख्याओं के समूहन से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन करते समय संख्याओं के समूह को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

साहचर्य गुण को संक्रिया जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग साहचर्य गुण को प्रदर्शित नहीं करते हैं।

पूर्ण संख्याओं का जोड़ का साहचर्य गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं का योग समान रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए।

गणितीय रूप से, इसे $a, b, c \in W, \text {then } \left (a + b \right) + c = a + \left(b + c \right)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, तीन पूर्ण संख्याओं के लिए $2$, $8$ और $6$, $\left(2 + 8 \right) + 6 = 10 + 6 = 16$ और $2 + \left(8 + 6 \right) = 2 + 14 = 16$।

इसी तरह, तीन पूर्ण संख्याओं के लिए $15$, $12$ और $23$, $\left(15 + 12 \right) + 23 = 27 + 23 = 50 \text { और } 15 + \left(12 + 23 \right) = 15 + 35 = 50$।

पूर्ण संख्याओं का गुणन का साहचर्य गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं का गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b, c \in W, \text {then } \left (a \times b \right) \times c = a \times \left(b \times c \right)$ .

उदाहरण के लिए, तीन पूर्ण संख्याओं के लिए $4$, $3$ और $9$, $\left(4 \times 3 \right) \times 9 = 12 \times 9 = 108$ और $4 \times \left(3 \times 9 \right) = 4 \times 27 = 108$।

इसी तरह, तीन पूर्ण संख्याओं के लिए $15$, $10$ और $6$, $\left(15 \times 10 \right) \times 6 = 150 \times 6 = 900 \text { और } 15 \times \left(10 \times 6 \right) = 15 \times 60 = 900$।

पूर्ण संख्याओं का वितरणात्मक गुण

पूर्ण संख्याओं का वितरणात्मक गुण गुणन संक्रिया करते समय जोड़ और घटाव के माध्यम से पूर्ण संख्याओं के वितरण के विभाजन से संबंधित है।

पूर्ण संख्याओं का वितरणात्मक गुण दो प्रकार के होते हैं।

• जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण
• घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

पूर्ण संख्याओं का जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

यह बताता है कि किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं के लिए $\left(a + b \right) \times c$ के रूप की अभिव्यक्ति को $a \times b + a \times c$ के रूप में हल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, $\left(5 + 3 \right) \times 9$ को $5 \times 9 + 3 \times 9 = 45 + 27 = 72$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(5 + 3 \right) \times 9$ हल करने पर $8 \times 9 = 72$ देता है।

इसी तरह, $\left(150 + 6 \right) \times 4$ को $150 \times 4 + 6 \times 4 = 600 + 24 = 624$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(150 + 6 \right) \times 4$ हल करने पर $156 \times 4 = 624$ देता है।

पूर्ण संख्याओं का घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

यह बताता है कि किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं के लिए $\left(a – b \right) \times c$ के रूप की अभिव्यक्ति को $a \times b – a \times c$ के रूप में हल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, $\left(14 – 6 \right) \times 8$ को $14 \times 8 – 6 \times 8 = 112 – 48 = 64$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(14 – 6 \right) \times 8$ हल करने पर $8 \times 8 = 64$ देता है।

इसी तरह, $\left(100 – 9 \right) \times 5$ को $100 \times 5 – 9 \times 5 = 500 – 45 = 455$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(100 – 9 \right) \times 5$ हल करने पर $91 \times 5 = 455$ देता है।

नोट: वितरणात्मक गुण भाग के लिए नहीं है।

निष्कर्ष

पूर्ण संख्याओं में वही संख्याएँ होती हैं जो प्राकृतिक संख्याओं में एक अतिरिक्त संख्या $0$ के साथ और इन्हें $W = \{0, 1, 2, 3, 4, … \}$ के रूप में दर्शाया जाता है। पूर्ण संख्याएँ चार मुख्य गुणों को दर्शाती हैं – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण और जोड़ और घटाव पर गुणन की वितरणात्मक गुण।

अभ्यास के लिए प्रश्न

सही या गलत बताएं

• $1$ सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
• $0$ सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
• पूर्णांकों के समुच्चय में संख्याओं की गणना की जा सकती है।
• पूर्ण संख्याओं के समूह में संख्याओं की गणना नहीं की जा सकती।
• सबसे बड़ी पूर्ण संख्या $999999999999$ है।
• कोई सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं है।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में $0$ शामिल करके आपको पूर्ण संख्याओं का एक समुच्चय प्राप्त होता है।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में से $0$ को हटाकर आपको पूर्ण संख्याओं का एक सेट प्राप्त होता है।

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