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गणित में जोड़, घटाव, गुणा और भाग चार बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन हैं। इनमें जोड़ और घटाव अन्य दो का आधार है।
छात्रों को यह भ्रमित करने वाला लगता है, खासकर जब इन संक्रियाओं को पूर्णांकों के साथ करते हैं। इस लेख में, आप इन संक्रियाओं को समझने और याद रखने के आसान तरीके के साथ-साथ पूर्णांकों के जोड़ और घटाव के बुनियादी नियमों के बारे में जानेंगे।
पूर्णांकों का जोड़ और घटाव
पूर्णांकों के जोड़ और घटाव के बुनियादी नियमों को याद रखना और संचालन करते समय उनका ठीक से उपयोग करना निश्चित रूप से प्रक्रिया को आसान और कम समय लेने वाला बना देगा।
जोड़ने और घटाने के नियम
पूर्णांक संख्याओं का एक विशेष समूह है जो धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य होते हैं, जो भिन्न नहीं होते हैं। जोड़ और घटाव के नियम सभी के लिए समान हैं।
नकारात्मक चिन्ह और सकारात्मक चिन्ह
जिन पूर्णांकों को हम जोड़ते या घटाते हैं वे धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं। इसलिए, सकारात्मक और नकारात्मक प्रतीकों के नियमों को जानना आवश्यक है।
सकारात्मक चिन्ह/प्रतीक: (+)
ऋणात्मक चिह्न/प्रतीक: (-)
पूर्णांकों का योग
पूर्णांकों के योग में तीन मुख्य संभावनाएं हैं:
- दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ना: चिह्नों पर विचार किए बिना संख्याओं को जोड़ें, और परिणाम सकारात्मक होता है।
- दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ना: चिह्नों पर विचार किए बिना संख्याओं को जोड़ें, और परिणाम ऋणात्मक होता है।
- एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या जोड़ना: चिन्ह पर विचार किए बिना छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाना
- जब बड़ी संख्या (पूर्ण मान) धनात्मक होती है: परिणाम धनात्मक होता है
- जब बड़ी संख्या (पूर्ण मान) ऋणात्मक होती है: परिणाम ऋणात्मक होता है
नोट: चिन्ह को हटाने के बाद प्राप्त संख्या को निरपेक्ष मान (absolute value) कहते हैं।
उदाहरण के लिए, +65 का निरपेक्ष मान 65 है और -65 का निरपेक्ष मान 65 है।
उपरोक्त नियमों को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है:
| संख्याओं का प्रकार | ऑपरेशन | परिणाम | उदाहरण |
| धनात्मक + धनात्मक | जोड़ | धनात्मक (+) | 12 + 19 = 31 |
| ऋणात्मक + ऋणात्मक | जोड़ | ऋणात्मक (-) | (-12) + (-19) = -31 |
| धनात्मक + ऋणात्मक | घटाव | धनात्मक (+) | (-12) + 19 = 7 |
| ऋणात्मक + धनात्मक | घटाव | ऋणात्मक (-) | 12 + (-19)= -7 |
उपरोक्त तालिका से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:
- दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ने पर एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है
- दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने पर ऋणात्मक चिह्न वाले पूर्णांकों का योग प्राप्त होता है।
- एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का योग दी गई संख्याओं के मान के आधार पर या तो धनात्मक या ऋणात्मक योग देता है।
- परिणाम सकारात्मक होता है जब बड़ी संख्या (पूर्ण) सकारात्मक होती है
- जब बड़ी संख्या (निरपेक्ष) ऋणात्मक होती है तो परिणाम ऋणात्मक होता है
याद रखने योग्य एक महत्वपूर्ण बिंदु: एक पूर्णांक और उसके विपरीत का योग हमेशा शून्य होता है। (उदाहरण के लिए, -7 + 7 = 0, 7 + (-7) = 0)
पूर्णांकों का योग – उदाहरण
Ex 1: -32 और -45 जोड़ें
(-32) + (-45)
-32 और -45 दोनों में ‘-‘ चिन्ह होता है, इसलिए नियम का पालन करना चाहिए:
- ऋणात्मक + ऋणात्मक: ऑपरेशन जोड़ है और परिणाम ऋणात्मक
32 + 45 = 77
इसलिए, -32 + (-45) = -77
Ex 2: 42 और -33 जोड़ें
42 + (-33)
पालन करने के लिए नियम:
- एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
- बड़ी संख्या धनात्मक है, इसलिए परिणाम धनात्मक है
42 – 33 = 9
इसलिए, 42 + (-33) = 9 (+9)
Ex 3: 57 और – 89 जोड़ें
57 + (-89)
पालन करने के लिए नियम:
- एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
- बड़ी संख्या ऋणात्मक है, इसलिए परिणाम ऋणात्मक है
89 – 57 = 32
इसलिए, 57 + (-89) = -32
Ex 4: 19 और 76 जोड़ें
19 + 76
-32 और -45 दोनों में ‘-‘ चिन्ह होता है, इसलिए नियम का पालन करना चाहिए:
- धनात्मक + धनात्मक: ऑपरेशन जोड़ है और परिणाम धनात्मक है
19 + 76 = 95
पूर्णांकों का घटाव
पूर्णांकों के घटाव में भी तीन संभावनाएँ हो सकती हैं।
- दो धनात्मक संख्याओं को घटाना
- दो ऋणात्मक संख्याओं को घटाना
- एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या घटाना
प्रत्येक मामले में, पहला कदम घटाव समस्या को एक जोड़ समस्या में बदलना है और फिर ऊपर चर्चा किए गए उपयुक्त जोड़ नियम का उपयोग करना है।
गणना में आसानी के लिए, हमें घटाव की समस्याओं को जोड़ने की समस्याओं का नवीनीकरण करने की आवश्यकता है। जोड़ करने के लिए दो चरण हैं:
- घटाव समस्या को अतिरिक्त समस्या में बदलें
- पूर्णांकों को जोड़ें
निम्नलिखित उदाहरण घटाव समस्या को जोड़ समस्या में बदलने की प्रक्रिया की व्याख्या करते हैं:
- 12 – 5 = 12 + (-5)
- 5 – 12 = 5 + (-12)
- -12 – 5 = -12 + (-5)
पूर्णांकों का घटाव – उदाहरण
Ex 1: 96 – 65
जोड़ में बदलें 96 + (-65)
पालन करने के लिए नियम:
- एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
- बड़ी संख्या धनात्मक है, इसलिए परिणाम धनात्मक है
96 – 65 = 31
Ex 2: 52 – 84
जोड़ में बदलें: 52 + (-84)
पालन करने के लिए नियम:
- एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
- बड़ी संख्या ऋणात्मक है, इसलिए परिणाम ऋणात्मक है
84 – 52 = 32
इसलिए, 52 – 84 = -32
Ex 3: -32 – 64
जोड़ में बदलें: -32 + (-64)
-32 और -64 दोनों में ‘-‘ चिन्ह होता है, इसलिए नियम का पालन करना चाहिए:
- ऋणात्मक + ऋणात्मक: ऑपरेशन जोड़ है और परिणाम ऋणात्मक
32 + 64 = 96
इसलिए, -32 – 64 = -96
Ex 4: 56 – (-32)
जोड़ में बदलें: 56 + 32
56 + 32 = 88
इसलिए, 56 – (-32) = 88
Ex 5: -18 – (-64)
जोड़ में बदलें -18 + 64
पालन करने के लिए नियम:
एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
बड़ी संख्या धनात्मक है, इसलिए परिणाम धनात्मक है
64 – 18 = 46
इसलिए, -18 – (-64) = 46
जब ‘से’ घटाव समस्याओं में मौजूद हो
कई बार घटाव की समस्याओं को ‘से’ वाक्यांश के साथ जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए
- 18 में से 16 घटाएं: यह 18 – 16 = 2 हो जाता है
- 16 में से 18 घटाएं: यह 16 – 18 = -2 हो जाता है
- -16 को -18 से घटाएं: यह -18 हो जाता है – (-16) = -18 + 16 = -2
- -18 को -16 से घटाएं: यह -16 हो जाता है – (-18) = -16 + 18 = 2
- -18 से 16 घटाएं: यह -18 – 16 = -24 हो जाता है
- -18 को 16 से घटाएं: यह 16 हो जाता है – (-18) = 16 + 18 = 24
- -16 को 18 से घटाएं: यह 18 हो जाता है – (-16) = 18 + 16 = 24
- -16 से 18 घटाएं: यह -16 – 18 = -24 हो जाता है
नोट: ‘से’ के बाद आने वाली संख्या को घटाव संक्रिया में सबसे पहले लिखा जाता है।
नोट: कोष्ठक हटाते समय निम्नलिखित नियमों का ध्यान रखें
- +(+) = +
- +(-) = –
- -(+) = –
- -(-) = +
पूर्णांकों का घटाव – उदाहरण
Ex 1: 73 में से 12 घटाएं
‘से’ के बाद की संख्या 73 है, इसलिए, 73 – 12
73 – 12 = 61
इसलिए, जब 73 में से 12 घटाया जाता है तो परिणाम 61 होता है
Ex 2: -45 को 67 से घटाएं
‘से’ के बाद की संख्या 67 है, इसलिए 67 – (-45)
जोड़ में बदलें: 67 + 45
67 + 45 = 112
इसलिए, जब -45 को 67 में से घटाया जाता है, तो परिणाम 112 होता है
Ex 3: -23 से 58 घटाएं
‘से’ के बाद की संख्या -23 है, इसलिए -23 – 58
जोड़ में बदलें: -23 + (-58)
-32 और -45 दोनों में ‘-‘ चिन्ह होता है, इसलिए नियम का पालन करना चाहिए:
- ऋणात्मक + ऋणात्मक: ऑपरेशन जोड़ है और परिणाम ऋणात्मक
23 + 58 = 81
इसलिए, -23 + (-58) = -81
और, इसलिए जब -23 में से 58 घटाया जाता है, तो परिणाम -81 होता है
Ex 4: -68 से -25 घटाएं
‘से’ के बाद की संख्या -68 है, अतः -68 – (-25)
जोड़ में बदलें: -68 + 25
पालन करने के लिए नियम:
- एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
- बड़ी संख्या ऋणात्मक है, इसलिए परिणाम ऋणात्मक है
68 – 25 = 43
इसलिए, -68 + 25 = -43
और, इसलिए जब -25 को -68 से घटाया जाता है तो परिणाम -43 . होता है
Ex 5: -43 से -85 घटाएं
‘से’ के बाद की संख्या -43 है, इसलिए -43 – (-85)
जोड़ में बदलें: -43 + 85
पालन करने के लिए नियम:
एक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, इसलिए घटाएं
बड़ी संख्या धनात्मक है, इसलिए परिणाम धनात्मक है
85 – 43 = 42
इसलिए, -43 + 85 = 42
और, इसलिए जब -85 को -43 से घटाया जाता है तो परिणाम 42 होता है
संख्या रेखा का उपयोग करके पूर्णांकों का जोड़ और घटाव
संख्या रेखा का उपयोग करके पूर्णांकों पर जोड़ या घटाव करने से पहले, इन प्रमुख बिंदुओं को याद रखें:
- हमेशा “0” से शुरू करें।
- यदि संख्या धनात्मक है, तो दाईं ओर जाएँ।
- यदि संख्या ऋणात्मक है, तो बाईं ओर ले जाएँ।
संख्या रेखा का उपयोग करके पूर्णांकों का योग
किसी संख्या रेखा पर पूर्णांकों का योग दूसरे जोड़ के चिह्न को देखकर किया जाता है। यदि हम दिए गए पूर्णांक में एक धनात्मक संख्या जोड़ते हैं, तो हम दाईं ओर बढ़ते हैं, और यदि हम दिए गए पूर्णांक में एक ऋणात्मक पूर्णांक जोड़ते हैं, तो हम बाईं ओर बढ़ते हैं। संख्या रेखा पर पूर्णांकों को जोड़ने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।
आइए प्रक्रिया को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों को देखें:
Ex 1: 4 + 5
4 + 5 = 9
Ex 2: 4 + (-5)
4 + (-5) = -1
Ex 3: -4 + 5
-4 + 5 = 1
Ex 4: -4 + (-5)
-4 + (-5) = -9
संख्या रेखा का उपयोग करके पूर्णांकों का घटाव
एक संख्या रेखा पर पूर्णांकों को घटाना सबट्रेंड के चिह्न को देखकर किया जाता है। एक धनात्मक पूर्णांक घटाने के लिए, हम संख्या रेखा पर बाईं ओर बढ़ते हैं, और एक ऋणात्मक पूर्णांक घटाने के लिए हम संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ते हैं। आइए एक संख्या रेखा पर पूर्णांकों को घटाने के लिए कुछ उदाहरण लें।
Ex 1: 5 से 4 घटाना मतलब 5 – 4
जोड़ में बदलें: 5 + (-4)
5 – 4 = 1
Ex 2: 5 को 4 में से घटाएँ 4 – 5
जोड़ में बदलें: 4 + (-5)
4 – 5 = -1
Ex 3: घटाना -4 से 5 का अर्थ है 5 – (-4)
जोड़ में बदलें: 5 + 4
5 – (-4) = 9
Ex 4: -5 को -4 से घटाएं -4 – 5
जोड़ में बदलें: -4 + (-5)
-4 -5 = -9
Ex 5: -5 को 4 से घटाएं 4 का अर्थ है – (-5)
जोड़ में बदलें: 4 + 5
4 – (-5) = 9
Ex 6: -5 से 4 घटाएं -5 – 4
जोड़ में बदलें: -5 + (-4)
Ex 7: -4 को -5 से घटाएं -5 – (-4)
जोड़ में बदलें: -5 + 4
-5 – (-4) = -1
Ex 8: घटाना -5 से -4 का मतलब -4 – (-5)
जोड़ में बदलें: -4 + 5
-4 – (-5) = 1
आइए पायथन में कोड करें
दो पूर्णांकों को जोड़ने का नियम प्रदर्शित करें
#Addition Rules for Integers
#1. Adding two positive integers results in a positive integer
#2. Adding two negative integers results in a sum of integers with a negative sign.
#3. The addition of a positive and a negative integer gives either a positive or negative-sum depending on the value of the given numbers.
#3a. The result is positive when the greater number (absolute) is positive
#3b. The result is negative when the greater number (absolute) is negative
import math
#Accept input
x = int(input('Enter first integer: '))
y = int(input('Enter first integer: '))
sign = ''
#Display Rules
if x > 0 and y > 0:
print('Result is sum of absolute values of ', x, 'and', y, 'and sign is positive')
elif x < 0 and y < 0:
print('Result is sum of absolute values of ', x, 'and', y, 'and sign is negative')
elif (x < 0 and y > 0) or (x > 0 and y < 0):
if abs(x) > abs(y):
if math.copysign(1,x) == 1:
sign = 'positive'
elif math.copysign(1,x) == -1:
sign = 'negative'
print('Result is difference of absolute values of', x, 'and', y, 'and sign is', sign)
else:
if abs(x) < abs(y):
if math.copysign(1,y) == 1:
sign = 'positive'
elif math.copysign(1,y) == -1:
sign = 'negative'
print('Result is difference of absolute values of', x, 'and', y, 'and sign is', sign)
निष्कर्ष
पूर्णांकों का जोड़ और घटाव शुरुआत में भ्रमित करने वाला हो सकता है। लेकिन अगर आपको लेख में चर्चा किए गए नियम याद हैं, तो आपको इन कार्यों को करने में बहुत आसानी होगी।
अभ्यास के लिए प्रश्न
हल कीजिये:
| 1. $12 + 9$ | 2. $\left(-5 \right) – \left(-17 \right)$ | 3. $\left(-15 \right) + \left(-7 \right)$ |
| 4. $5 – \left(-2 \right)$ | 5. $12 – 5$ | 6. $\left(-19 \right) – 7$ |
| 7. $\left(-9 \right) + \left(-17 \right)$ | 8. $\left(-14 \right) – \left(-5 \right)$ | 9. $9 + \left(-14 \right)$ |
| 10. $\left(-17 \right) + 9$ | 11. $18 – 7$ | 12. $\left(-4 \right) – 15$ |
| 13. $18 – 20$ | 14. $8 + 13$ | 15. $\left(-18 \right) + 7$ |
