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डेसीमल हमारे दैनिक जीवन में उपयोग किए जाते हैं। पैसा हो, वजन हो या लंबाई – दशमलव हर किसी के जीवन में अपना स्थान पाते हैं। इनका उपयोग पूर्ण संख्या और भिन्न को एक साथ व्यक्त करने के लिए किया जाता है। दशमलव संख्याओं के उपयोग का मुख्य लक्ष्य अधिक सटीकता प्राप्त करना है।
दशमलव एक प्रतीक ‘.’ का उपयोग करते हैं, जिसे आमतौर पर सभी प्रकार की संख्याओं को व्यक्त करने के लिए दशमलव बिंदु के रूप में जाना जाता है – पूर्ण संख्याएं और भिन्न। दशमलव बिंदु पूरे भाग को किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग से अलग करता है।
ऐसी कई वास्तविक जीवन स्थितियां हैं जिनमें आप दशमलव को जाने बिना ही उसका उपयोग कर रहे होंगे। उदाहरण के लिए, यदि कोई दुकानदार आपको बताता है कि एक पेन की कीमत $10$ रुपये और $50$ पैसे है, तो गणितीय रूप से, इसे ₹10.50$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
इस लेख में, आप सीखेंगे कि समान दशमलव क्या हैं और आसमान दशमलव क्या होते हैं और उन्हें दशमलव स्थान मान चार्ट (प्लेस वैल्यू चार्ट) में कैसे रखा जाता है।
दशमलव क्या हैं?
दशमलव वे संख्याएँ हैं जो दो पूर्ण संख्याओं या पूर्णांकों के बीच आती हैं। उदाहरण के लिए, $7.5$ एक दशमलव संख्या है जो $7$ और $8$ के बीच स्थित है। यह $7$ से अधिक है, और $8$ से कम है लेकिन एक पूर्ण संख्या नहीं है।
दशमलव संख्याएँ भिन्न के समान होती हैं लेकिन उन्हें अलग-अलग तरीके से व्यक्त किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, $7.5$ $7 \frac {1}{2}$ मिश्रित भिन्न या विषम भिन्न $\frac {15}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दशमलव की सहायता से, आप मापने योग्य मात्राओं जैसे लंबाई, भार, दूरी, धन आदि के अधिक सटीक मान लिख सकते हैं। दशमलव बिंदु के बाईं ओर की संख्याएं पूर्णांक या पूर्ण संख्याएं हैं और दशमलव के दाईं ओर की संख्याएं दशमलव भिन्न हैं।
जैसा कि आप जानते होंगे कि यदि आप बाईं ओर चलते हैं, तो एक अंक का स्थानीय मान 10 गुना बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, $5238$ में, $8$ को इकाई पर रखा गया है, $3$ को दहाई पर, $2$ को सैकड़ा पर, और $5$ को हजार पर रखा गया है।
इसी प्रकार, दशमलव बिंदु के दायीं ओर के अंकों के मामले में, एक अंक का स्थानीय मान 10 गुना कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, $0.5238$ में, $5$ को दसवें $\left(\frac {1}{10} \right)$ पर रखा गया है, $2$ को सौवे $\left( \frac {1}{100} \right) पर रखा गया है )$, $3$ को हजारवें हिस्से में रखा गया है $\left(\frac {1}{1000} \right)$, और $5$ को दस-हजारवें $\left( \frac {1}{10000} \right )$ हिस्से में रखा गया है
दशमलव प्लेस वैल्यू चार्ट – दशमलव संख्याओं की प्लेस वैल्यू
आइये अब समझते हैं कि दशमलव प्लेस वैल्यू चार्ट क्या है। जैसा कि ऊपर देखा गया एक दशमलव संख्या में दो भाग होते हैं
- पूर्ण भाग: दशमलव बिंदु के बाईं ओर स्थित है
- दशमलव भाग (आंशिक भाग): दशमलव बिंदु के बाईं ओर स्थित है
पूर्ण भाग के लिए स्थानीय मान हैं (दशमलव बिंदु के बाद दाएं से बाएं चलते हुए):
- इकाई $\left( 1 \right)$
- दहाई $\left( 10 \right)$
- सैकड़ा $\left( 100 \right)$
- हजार $\left( 1000 \right)$
दशमलव भाग के लिए स्थानीय मान हैं (दशमलव बिंदु के बाद बाएं से दाएं की ओर बढ़ते हुए):
- दसवाँ $\left( \frac {1}{10} \right)$
- सौवाँ $\left(\frac {1}{100} \right)$
- हजारवाँ $\left(\frac {1}{1000} \right)$
उदाहरण – दशमलव स्थान मान चार्ट
आइए दशमलव स्थान मान चार्ट को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
Ex 1: $402.874$
Ex 2: $29.905$
Ex 3: $7.04$
Ex 4: $19.003$
दशमलव को संख्याओं को कैसे पढ़ें?
आप एक दशमलव संख्या को दो तरह से पढ़ सकते हैं। आइए एक दशमलव संख्या $56.27$ पर विचार करें।
- पहले तरीके से इसे पचहत्तर दशमलव दो-सात के रूप में पढ़ा जाता है। पूर्ण संख्या को सामान्य तरीके से पढ़ा जाता है जबकि दशमलव भाग के लिए प्रत्येक अंक को अलग से पढ़ा जाता है।
- दूसरे तरीके से, इसे पचहत्तर और सत्ताईस सौवां पढ़ा जाता है। पूर्ण संख्या को सामान्य तरीके से पढ़ा जाता है और दशमलव भाग को दशमलव स्थान मान चार्ट में उसके स्थानीय मान से पढ़ा जाता है।
दशमलव का विस्तारित रूप
आप जानते हैं कि किसी भी पूर्ण संख्या के अंकों को उनके स्थानीय मान के रूप में बढ़ाया जा सकता है। पूर्ण संख्याओं को विस्तृत रूप में लिखने के लिए हम स्थानीय मान चार्ट का उपयोग करते हैं।
संख्या $52864$ को $5 \times 10000 + 2 \times 1000 + 8 \times 100 + 6 times 10 + 4 times 1$ या $5 times 10^{4} + 2 times 10^{3} + 8 \times 10^{2} + 6 \times 10^{1} + 4 \times 10^{0}$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
इसी प्रकार, दशमलव संख्या के अंकों को उनके स्थानीय मान के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
संख्या $9247.613$ को $9 \times 1000 + 2 \times 100 + 4 \times 10 + 7 \times 1 + 6 \times \frac {1}{10} + 1 \times \frac {1}{100} + 3 \times \frac {1}{1000}$ या $9 \times 10^{3} + 2 \times 10^{2} + 4 \times 10^{1} + 7 \times 10^{0} + 6 \times \frac {1}{10^{1}} + 1 \times \frac {1}{10^{2}} + 3 \times \frac {1}{10^{3}}$ या $9 \times 10^{3} + 2 \times 10^{2} + 4 \times 10^{1} + 7 \times 10^{0} + 6 \times 10^{-1} + 1 \times 10 ^{-2} + 3 \times 10^{-3}$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
दशमलव संख्याओं के प्रकार
दशमलव बिंदु के बाद आने वाले अंकों के प्रकार के आधार पर दशमलव को विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है। यह इस बात पर निर्भर करेगा कि अंक दोहरा रहे हैं, दोहराए नहीं जा रहे हैं या समाप्त हो रहे हैं। चार प्रकार की दशमलव संख्याओं में शामिल हैं
- सांत दशमलव
- असांत दशमलव
- आवर्ती दशमलव
- अनावर्ती दशमलव
1. सांत दशमलव
सांत दशमलव में दशमलव बिंदु के ठीक बाद अंकों की संख्या सीमित होती है। सांत दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को गिना जा सकता है इसलिए यह परिमित है।
सांत दशमलव को समाप्त करने के उदाहरण $126.543$, $14.7$, $-12.9843$ हैं।
ये सभी दशमलव संख्याएँ किसी निश्चित दशमलव संख्याओं पर समाप्त हो रही हैं क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या परिमित है।
2. असांत दशमलव
असांत दशमलव संख्याएँ वे होती हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद के अंक अनिश्चित काल तक दोहराते हैं। दूसरे शब्दों में, दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक अंतहीन संख्या हो सकती है। असांत दशमलव को आवर्ती और अनावर्ती दशमलव संख्याओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
2 a. आवर्ती दशमलव संख्याएँ
आवर्ती दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की असीमित संख्या होती है। हालाँकि, ये अंक नियमित अंतराल पर दोहराए जाते हैं।
आवर्ती दशमलव के उदाहरण हैं $1.33333…$, $7.21212121…$, $56.123123123…$।
ये आवर्ती दशमलव संख्याओं के उदाहरण हैं, जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या नियमित अंतराल पर या पूर्वनिर्धारित क्रम में दोहराई जाती है।
इन नंबरों को दशमलव बिंदु के बाद दोहराई जाने वाली संख्या के ऊपर एक बार चिन्ह लगाकर भी लिखा जा सकता है। $1.\overline{3}$, $7.\overline{21}$, $56.\overline{123}$।
इन संख्याओं को भिन्नात्मक रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जिससे वे परिमेय संख्याएँ बन जाती हैं।
2 b. अनावर्ती दशमलव संख्याएँ
अनावर्ती दशमलव संख्याएं दशमलव हैं जो समाप्त नहीं होती हैं और दोहराती नहीं हैं। अनावर्ती दशमलव संख्याओं में उनके दशमलव स्थानों पर अंकों की अनंत संख्या होती है, और उनके अंक एक निश्चित क्रम का पालन नहीं करते हैं।
अनावर्ती दशमलव के उदाहरण: $3.14159265359…$ ($\pi$ का मान), $32.564321786…$, $-54.73429030281…$।
नोट: अनावर्ती दशमलव संख्याओं को एक बार चिह्न द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद के अंक एक पूर्वानुमेय क्रम में नहीं दोहराते हैं।
समान दशमलव क्या हैं?
समान दशमलव वे दशमलव संख्याएँ होती हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होती है। उदाहरण के लिए, $3.92$ और $5.68$ समान दशमलव संख्याएं हैं, क्योंकि दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद $2$ दशमलव स्थान हैं।
आसमान दशमलव संख्याएँ क्या हैं?
असमान दशमलव संख्याएँ वे हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, $6.103$ और $5.23$ असमान दशमलव संख्याएं हैं, क्योंकि $6.103$ में दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंक हैं जबकि दशमलव बिंदु के बाद $5.23$ में $2$ अंक हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित संख्याओं को विस्तृत रूप में लिखिए
- $5643.231$
- $56.095$
- $92.6750$
- $729.7865$
- $2.0008$
- निम्नलिखित संख्याओं को शब्दों में लिखिए (दोनों रूपों का प्रयोग कीजिए)
- $6754.7865$
- $87.005$
- $321.9880$
- $78.00008$
- $309.40405$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
दशमलव संख्या क्या हैं?
दशमलव एक संख्या है जिसमें एक संपूर्ण और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव संख्याएँ पूर्णांकों के बीच स्थित होती हैं और उन मात्राओं के लिए संख्यात्मक मान का प्रतिनिधित्व करती हैं जो संपूर्ण हैं और संपूर्ण का कुछ भाग हैं।
दशमलव के 3 प्रकार क्या हैं?
तीन प्रकार की दशमलव संख्याएँ होती हैं –
सांत दशमलव में दशमलव बिंदु के ठीक बाद अंकों की संख्या सीमित होती है। सांत दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को गिना जा सकता है इसलिए यह परिमित है।
सांत दशमलव को समाप्त करने के उदाहरण $54.25$, $-14.86$ हैं।
आवर्ती दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की असीमित संख्या होती है। हालाँकि, ये अंक नियमित अंतराल पर दोहराए जाते हैं।
आवर्ती दशमलव के उदाहरण हैं $0.33333…$, $4.121212…$।
अनावर्ती दशमलव संख्याएं दशमलव हैं जो समाप्त नहीं होती हैं और दोहराती नहीं हैं। अनावर्ती दशमलव संख्याओं में उनके दशमलव स्थानों पर अंकों की अनंत संख्या होती है, और उनके अंक एक निश्चित क्रम का पालन नहीं करते हैं।
निष्कर्ष
दशमलव संख्याएँ भिन्नात्मक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला रूप है। हम इन संख्याओं का उपयोग अपने दैनिक जीवन में धन, भार, क्षमता आदि का प्रतिनिधित्व करने के लिए करते हैं। दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गणनीय है या बेशुमार है, इस पर निर्भर करते हुए, दशमलव को व्यापक रूप से सांत या असांत के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
