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दशमलव और बाइनरी संख्याएँ

Decimal-and-Binary-Numbers

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इस लेख में हम बाइनरी संख्याओं के बारे में जानेंगे। कैसे दशमलव से बाइनरी और बाइनरी से दशमलव में संख्याओं को बदला जाता है?

कंप्यूटर डेटा स्टोर करने के लिए बाइनरी – अंक ० और १ – का उपयोग करते हैं। बाइनरी संख्या प्रणाली को समझना और किसी संख्या को बाइनरी और इसके विपरीत में कैसे बदलना है, यह समझना आवश्यक हो जाता है। एक बाइनरी अंक, या बिट (BIT), कंप्यूटिंग में डेटा की सबसे छोटी इकाई है। इसे ० या १ द्वारा दर्शाया जाता है। बाइनरी संख्या बाइनरी अंकों (बिट्स) से बने होते हैं, जैसे बाइनरी संख्या १००१।

कंप्यूटर के प्रोसेसर में सर्किट अरबों ट्रांजिस्टर से बने होते हैं। ट्रांजिस्टर एक छोटा स्विच होता है जो इसे प्राप्त होने वाले इलेक्ट्रॉनिक संकेतों द्वारा सक्रिय होता है। बाइनरी में प्रयुक्त अंक १ और ० ट्रांजिस्टर के चालू और बंद की स्थिति को दर्शाते हैं।

कंप्यूटर प्रोग्राम निर्देशों के समूह होते हैं। प्रत्येक निर्देश का मशीन कोड में अनुवाद किया जाता है – सरल बाइनरी कोड जो सीपीयू को सक्रिय करते हैं। प्रोग्रामर कंप्यूटर कोड लिखते हैं और इसे अनुवादक द्वारा बाइनरी निर्देशों में परिवर्तित किया जाता है जिसे प्रोसेसर निष्पादित कर सकता है।

सभी सॉफ़्टवेयर, संगीत, दस्तावेज़ (documents), और कंप्यूटर द्वारा संसाधित की जाने वाली कोई भी अन्य जानकारी बाइनरी का उपयोग करके संग्रहीत की जाती है।

दशमलव और बाइनरी नंबर क्या हैं?

एक संख्या प्रणाली जो संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए ० से ९ (दस अंक) के अंकों का उपयोग करती है, दशमलव संख्या प्रणाली कहलाती है। हम सभी अपने दैनिक उपयोग में दशमलव संख्याओं का उपयोग करते हैं।

एक संख्या प्रणाली जो संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए केवल दो अंक ० और १ (बाइनरी डिजिट) का उपयोग करती है, बाइनरी संख्या प्रणाली कहलाती है। कंप्यूटर डेटा और सूचनाओं को संग्रहीत और संसाधित करने के लिए बाइनरी नंबर प्रणाली का उपयोग किया जाता है।

दशमलव और बाइनरी संख्याएँ

किसी संख्या को बाइनरी में कैसे बदलें

दशमलव संख्याओं का आधार १० और बाइनरी संख्याओं का आधार २ होता है। (७४५)१० एक दशमलव संख्या है और (११००१०१) एक बाइनरी संख्या है।

आइए देखें कि किसी दशमलव संख्या को बाइनरी में कैसे बदल सकते हैं और इसके विपरीत।

आप शायद जानते होंगे कि जब भी हम किसी संख्या को २ से भाग देते हैं, तो हमारे पास ० या १ शेष रहता है १) एक दशमलव संख्या को उसके बाइनरी समकक्ष में बदलने के लिए, इसे २ से विभाजित किया जाता है, और शेष को नोट किया जाता है। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि हमारे पास २ से कम संख्या न रह जाए २) उसके बाद, सभी शेष को क्रम में (नीचे से ऊपर की ओर बढ़ते हुए) लिखा जाता है। १ और ० की यह श्रृंखला संख्या की बाइनरी समकक्ष बन जाती है।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए आइए एक दशमलव संख्या २३४ के उदाहरण पर विचार करें।

एक दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलें

अब, (२३४)१० के बाइनरी समकक्ष को प्राप्त करने के लिए नीचे से शुरू करें। नीचे से चलते हुए और सभी ० और १ को एकत्रित करते हुए, हमें १११०१०१० मिलता है। इसलिए, (२३४)१० = (१११०१०1०).

संख्याओं का रूपांतरण – बाइनरी से दशमलव

किसी संख्या को बाइनरी में बदलने का तरीका सीखने के बाद, आइए देखें कि बाइनरी संख्या को उसके दशमलव समकक्ष में कैसे बदला जाए। ऐसा करने के लिए बाइनरी संख्या को २ की घात में विस्तारित किया जाता है (बाइनरी संख्या का आधार 2 है)।

१११०१०१० = ० ✖ २ + १ ✖ २ + ० ✖ २ + १ ✖ २ + ० ✖ २ + १ ✖ २ + १ ✖ २ + १ ✖ २

= ० ✖ १ + १ ✖ २ + ० ✖ ४ + १ ✖ ८ + ० ✖ १६ + १ ✖ ३२ + १ ✖ ६४ + १ ✖ १२८

= ० + २ + ० + ८ + ० + ३२ + ६४ + 1२८ = २३४

भिन्नात्मक संख्याओं (Fractional Numbers) का रूपांतरण – दशमलव से बाइनरी

आइए अब देखें कि एक भिन्नात्मक दशमलव संख्या को बाइनरी में कैसे बदलें। प्रक्रिया को समझने के लिए आइए एक दशमलव संख्या ०.१२५ पर विचार करें।

किसी भी भिन्नात्मक दशमलव संख्या को बदलने के लिए, संख्या को २ से गुणा करें और अभिन्न भाग को नोट करें। और इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक ० शेष न रह जाए।

०.१२५ ✖ २ = ०.२५ ——————– ०

०.२५ ✖ २ = ०.५ ———————– ०

०.५ ✖ २ = १.० ————————- १

(०.१२५)१० के बाइनरी समकक्ष (०.००१) है।

भिन्नात्मक संख्याओं का रूपांतरण – बाइनरी से दशमलव

एक बाइनरी भिन्नात्मक संख्या को दशमलव में बदलने के लिए, इसे २ की घात में विस्तारित किया जाता है। घातांक दशमलव बिंदु के बाद -१ से शुरू होते हैं।

आइए ०.१००११ के उदाहरण पर विचार करें।

०.१००११ = १ ✖ २-१ + ० ✖ २-२ + ० ✖ २-3 + १ ✖ २-4 + १ ✖ २-5

= १ ✖ २-१ + ० + ० + १ ✖ २-४ + १ ✖ २-५

= २-१ + २-४ + २-५

= (१/२) + (१/१६) + (१/३२) = (१६ + २ + १)/३२ = १९/3२ = 0.५९३७५

मिश्रित संख्याओं का रूपांतरण – दशमलव से बाइनरी

मिश्रित संख्या ५०.७५ पर विचार करें। यहाँ समाकल भाग ५० और भिन्नात्मक भाग ०.७५ है।

दशमलव और बाइनरी संख्याएँ

इसलिये, (५०.७५)१० = (११००१०.११)

मिश्रित संख्याओं का रूपांतरण – बाइनरी से दशमलव

अब, मिश्रित बाइनरी संख्या १११००१.११०१ पर विचार करें

१११००१.११०१ = १ ✖ २ + ० ✖ २ + ० ✖ २ + १ ✖ २ + १ ✖ २ + १ ✖ २ + १ ✖ २-१ + १ ✖ २-२ + ० ✖ २-३ + १ ✖ २-४

= १ ✖ १ + ० ✖ २ + ० ✖ ४ + १ ✖ ८ + १ ✖ १६ + १ ✖ ३२ + १ ✖ (१/२) + १ ✖ (१/४) + ० ✖ (१/८) + १ ✖ (१/१६)

= १ + ० + ० + ८ + १६ + ३२ + (१/२) + (१/4) + ० + (१/१६)

= ५७ + (८ + ४ + १)/१६ = ५७ + १३/१६ = ५७ + 0.८१२५ = ५७.८१२५

इसलिये, (१११००१.११०१) = (५७.८१२५)१०

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