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गणित में, ‘प्रतिलोम’ नामक एक शब्द है। सामान्य भाषा में ‘प्रतिलोम’ शब्द का अर्थ कुछ विपरीत होता है। ‘गुणात्मक प्रतिलोम’ शब्द का क्या अर्थ हो सकता है?
गुणात्मक प्रतिलोम शब्द गुणात्मक तत्समक शब्द से संबंधित है। किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे उस संख्या से गुणा करने पर गुणनात्मक गुणात्मक प्राप्त होता है।
उदाहरण के लिए, $2$ का गुणात्मक प्रतिलोम $\frac {1}{2}$ है, क्योंकि $2 \times \frac {1}{2} = 1$ होता है।
आइये समझते हैं कि गुणात्मक प्रतिलोम क्या है और गुणात्मक प्रतिलोम कैसे ज्ञात करें।
गुणात्मक प्रतिलोम क्या है – गुणात्मक प्रतिलोम कैसे ज्ञात करें?
किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम उसकी विपरीत संख्या होती है। यदि किसी संख्या को उसके गुणनात्मक प्रतिलोम से गुणा किया जाता है, तो दोनों संख्याओं का गुणनफल $1$ हो जाता है।
किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम प्राप्त करने का सरल नियम है कि उसका व्युत्क्रम लिखें।
उदाहरण के लिए, $5$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {1}{5}$ है और $\frac {2}{3}$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {3}{2}$ है।
ध्यान दीजिये कि $5 \times \frac {1}{5} = 1$ और $\frac {2}{3} \times \frac {3}{2} = 1$। गुणन के बारे में अधिक जानने के लिए भिन्नों का गुणन और भाग देखें।
नोट: $1$ किसी भी संख्या का गुणात्मक तत्समक है।
गुणात्मक प्रतिलोम गुण
संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम गुण बताता है कि जब किसी संख्या को उसके गुणनात्मक प्रतिलोम से गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल एक गुणनात्मक तत्समक होती है, अर्थात $1$।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: किसी भी संख्या $a$ के लिए, यदि $a \times b = 1$, तो $b$ $a$ का गुणनात्मक प्रतिलोम है।
उदाहरण के लिए, $15 \times \frac {1}{15} = 1$, इसलिए, $\frac {1}{15}$ $15$ का गुणनात्मक प्रतिलोम है।
आइए जानें कि किन संख्याओं के समुच्चय की गुणनात्मक प्रतिलोम होता है।
प्राकृतिक संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $1$ से शुरू होता है और $2$, $3$, $4$, इत्यादि पर जाता है। वह $N = \{1, 2, 3, 4, …\}$ है।
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में $\frac {p}{q}$ के रूप की संख्याएँ नहीं होती हैं, इसलिए प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता है।
प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट के लिए गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, और गुणनात्मक तत्समक होते हैं, लेकिन योगात्मक तत्समक गुण, योगात्मक प्रतिलोम गुण और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण नहीं होता है।
पूर्ण संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $0$ से शुरू होता है और $1$, $2$, $3$, और इसी तरह आगे बढ़ता रहता है। यानी $W = \{0, 1, 2, 3, …\}$।
पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में $\frac {p}{q}$ के रूप की संख्याएँ नहीं होती हैं, इसलिए पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता है।
पूर्ण संख्याओं के समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, और गुणनात्मक तत्समक होता है, लेकिन योगात्मक प्रतिलोम गुण, और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण नहीं होता है।
पूर्णांकों का गुणनात्मक प्रतिलोम
पूर्णांकों का समुच्चय का एक समूह होता है जिसमें सभी प्राकृतिक संख्याएँ $1$, $2$, $3$, … और उनके संगत ऋणात्मक मान $-1$, $-2$, $-3$,… सहित $0$ होते हैं,अर्थात, $Z = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \}$।
पूर्णांकों के समुच्चय में $\frac {p}{q}$ के रूप की संख्याएँ नहीं होती हैं, इसलिए पूर्णांकों के समुच्चय की संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता है।
पूर्णांकों के समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण, और योगात्मक प्रतिलोम गुण होता है लेकिन, गुणनात्मक प्रतिलोम गुण नहीं होता है।
परिमेय संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम
परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक हैं और $q \ne 0$।
चूँकि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में $\frac {p}{q}$ के रूप की संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक संख्या $\frac {p}{q}$ के लिए, एक संख्या होती है $\frac {p}{q }$, इसलिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय में प्रत्येक संख्या के लिए एक गुणक प्रतिलोम होता है।
परिमेय संख्याओं के एक समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण, योगात्मक प्रतिलोम गुण, और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण होता है।
अपरिमेय संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त करने पर असांत और अनावर्ती दशमलव संख्याएँ मिलती हैं।
किसी भी अपरिमेय संख्या का गुणन प्रतिलोम एक संख्या का व्युत्क्रम होगा, इसलिए एक अपरिमेय संख्या के समुच्चय में प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए एक गुणनात्मक प्रतिलोम होगा।
अपरिमेय संख्याओं के एक समुच्चय के लिए, गुण – क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, और गुणनात्मक तत्समक गुण होता है, जबकि, संवरक गुण, योगात्मक तत्समक गुण और गुणनात्मक तत्समक गुण नहीं होता है।
वास्तविक संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी समुच्चयों से मिलकर बना एक समुच्चय है – प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ। इसलिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक गुणनात्मक प्रतिलोम होगा।
वास्तविक संख्याओं के एक सेट के लिए, सभी गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण, योगात्मक प्रतिलोम गुण और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण होता है।
गुणनात्मक प्रतिलोम और योगात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर
गुणनात्मक प्रतिलोम और योगात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर निम्नलिखित हैं:
| गुणनात्मक प्रतिलोम | योगात्मक प्रतिलोम |
| किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, आपको उसका व्युत्क्रम ज्ञात करना होता है | किसी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, आपको केवल उस संख्या का चिह्न बदलना होगा |
| एक संख्या $a$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने का सूत्र $\frac {1|{a}$ है | एक संख्या $a$ का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने का सूत्र $-a$ है |
| जब एक गुणक प्रतिलोम को किसी संख्या से गुणा किया जाता है तो परिणाम $1$ होता है | जब किसी संख्या में योगात्मक प्रतिलोम जोड़ा जाता है तो परिणाम $0$ होता है |
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित में से किस समुच्चय में संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम होता है?
प्राकृतिक संख्याएं, पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक, परिमेय संख्याएं, अपरिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं
- निम्नलिखित में से किस समुच्चय में संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता है?
प्राकृतिक संख्याएं, पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक, परिमेय संख्याएं, अपरिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं
- निम्नलिखित संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
- $56$
- $-92$
- $13.65$
- $-0.05$
- $\frac {2}{7}$
- $-\frac {56}{23}$
- $7 \frac {2}{9}$
- $\sqrt{5}$
- $11 + \sqrt{5}$
- $-5 – \sqrt{7}$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
गुणनात्मक प्रतिलोम का क्या अर्थ है?
किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम उसकी विपरीत संख्या होती है। यदि किसी संख्या को उसके गुणनात्मक प्रतिलोम से गुणा किया जाता है, तो दोनों संख्याओं का गुणनफल $1$ हो जाता है।
व्युत्क्रम और गुणनात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर क्या है?
व्युत्क्रम और गुणन प्रतिलोम एक ही बात है। जब आप किसी संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, तो गुणनफल $1$ होता है और जब आप किसी संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करते हैं तो गुणनफल भी $1$ होता है।
गुणनात्मक प्रतिलोम कैसे ज्ञात करें?
एक संख्या $a$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने का सूत्र $\frac {1}{a}$ है।
उदाहरण के लिए, $4$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {1}{4}$ है और $\frac {1}{7}$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {1}{\frac {1}{7 है }} = 7$ और $\frac {2}{3}$ का $\frac {1}{\frac {2}{3}} = \frac {3}{2}$ है।
एक परिमेय संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम क्या होता है?
किसी भी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम उसका व्युत्क्रम होता है। इसलिए, $\frac {p}{q}$ के रूप की एक परिमेय संख्या का गुणनात्मक व्युत्क्रम, जहां $q \ne 0$, $\frac {q}{p}$ है।
गुणनात्मक प्रतिलोम गुण क्या है?
गुणनात्मक प्रतिलोम गुण बताता है कि किसी संख्या का गुणनफल और उसका गुणन प्रतिलोम हमेशा $1$ होता है। उदाहरण के लिए, $3 \times \frac {1}{3} = 1$।
$0$ का गुणनात्मक प्रतिलोम क्या है?
चूँकि किसी भी संख्या $a$ का गुणनात्मक प्रतिलोम उसका व्युत्क्रम होता है, अर्थात $\frac {1}{a}$, और चूंकि $\frac {1}{0}$ अपरिभाषित है, इसलिए, $0$ का गुणनात्मक प्रतिलोम अपरिभाषित है या मौजूद नहीं है।
निष्कर्ष
किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है, जिसे जब उस संख्या से गुणा किया जाता है, तो एक गुणनात्मक तत्समक बन जाती है। कुछ समुच्चयों में संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम होता है जबकि कुछ समुच्चयों में संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता है।
