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गणित में, आप अपनी गणना में विभिन्न प्रकार की संख्याओं और ऑपरेटरों का उपयोग करते हैं। संख्याओं के साथ गणितीय व्यंजकों में संचालिका विभिन्न प्रकार के परिणाम देती है। आपने देखा होगा कि कई बार एक निश्चित संख्या पर किया गया ऑपरेशन एक ही परिणाम देता है। इस प्रकार की संख्याएं (या तत्व) सर्वसमिका कहलाती हैं।
सभी ऑपरेटर अपनी-अपनी पहचान से जुड़े हुए हैं। गुणन से जुड़ी पहचान को गुणनात्मक तत्समक के रूप में जाना जाता है। आइए जानें कि एक गुणनात्मक तत्समक क्या है और इसके गुण क्या हैं।
गुणनात्मक तत्समक क्या है?
गुणनात्मक तत्समक गुणन की प्रक्रिया से संबंधित है और जैसा कि ‘तत्समक’ शब्द का अर्थ है, गुणनात्मक तत्समक एक संख्या है जिसे जब किसी संख्या से गुणा किया जाता है तो वह आउटपुट देता है जो संख्या के समान होता है।
गुणन की स्थिति में, ऐसी संख्या ‘$1$’ (एक) होती है। आपने देखा होगा कि जब $1$ को किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक ही होता है।
उदाहरण के लिए, $19 \times 1 = 1 \times 19 = 19$। आप यहां देखते हैं कि जब $1$ को $19$ से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही संख्या यानी $19$ होता है। आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। $-27 \times 1 = 1 \times \left(-27 \right) = -27 $। यहाँ भी $1$ से गुणा करने पर परिणाम वही रहता है। इसका मतलब है कि $-27$ के लिए भी, तत्समक तत्व $1$ है।
सामान्य तौर पर, हम कह सकते हैं कि किसी भी संख्या $a$ के लिए, $1$ को एक गुणनात्मक तत्समक कहा जाता है, जैसे $a \times 1 = 1 \times a = a$।
अधिकांश संख्याओं के समुच्चय के लिए गुणनात्मक तत्समक मौजूद होती है। अभी भी संख्याओं के कुछ समूह हैं, जहाँ गुणनात्मक सर्वसमिका का अस्तित्व नहीं है। आइए जानें कि संख्याओं के किस समूह की गुणनात्मक तत्समक है और जिसके लिए गुणनात्मक तत्समक मौजूद नहीं है।
नोट: $-1$ एक गुणनात्मक तत्समक नहीं है।
प्राकृतिक संख्याओं का गुणनात्मक तत्समक
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $1$ से शुरू होता है और $2$, $3$, $4$, इत्यादि पर जाता है। $N = \{1, 2, 3, 4, …\}$ है।
चूँकि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का पहला अवयव $1$ है, हम देखते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं के मामले में गुणनात्मक तत्समक मौजूद है। इस प्रकार, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की गुणनात्मक तत्समक होता है।
एक सेट के लिए एक प्राकृतिक संख्या, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण होता है, जबकि योगात्मक तत्समक गुण नहीं होता है।
पूर्ण संख्याओं का गुणनात्मक तत्समक
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $0$ से शुरू होता है और $1$, $2$, $3$, और इसी तरह आगे बढ़ता है। अर्थात $W = \{0, 1, 2, 3, …\}$।
यहाँ, आपने देखा है कि $1$ पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में मौजूद है जो कि गुणनात्मक तत्समक है। इस प्रकार, पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का एक गुणनात्मक तत्समक होता है।
पूर्ण संख्या के समुच्चय के लिए गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण और योगात्मक तत्समक गुण होते हैं।
पूर्णांकों की का गुणनात्मक तत्समक
पूर्णांकों का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जिसमें सभी प्राकृतिक संख्याएँ $1$, $2$, $3$, … और उनके संगत ऋणात्मक मान $-1$, $-2$, $-3$,… सहित $0$ होते हैं। , अर्थात, $Z = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \}$।
आपने देखा है कि संख्या $1$ पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में मौजूद है, इस प्रकार, पूर्णांकों के समुच्चय की एक गुणनात्मक तत्समक होता है।
पूर्णांक के समुच्चय में, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण और योगात्मक तत्समक गुण होते हैं।
परिमेय संख्याओं का गुणनात्मक तत्समक
परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक हैं और $q \ne 0$।
साथ ही, प्रत्येक पूर्ण संख्या जैसे $0$, $1$, $2$, … को $\frac {0}{1}$, $\frac {1}{1}$, $\frac {2}{1}, …$, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए, $1$ एक परिमेय संख्या है और एक गुणनात्मक तत्समक है, और इसलिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय का एक गुणक तत्समक होता है।
परिमेय संख्याओं के समुच्चय में गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण और योगात्मक तत्समक गुण होते हैं।
अपरिमेय संख्याओं का गुणनात्मक तत्समक
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त करने पर असांत और अनावर्ती दशमलव स्थान होते हैं।
$1$ जो गुणनात्मक तत्समक है एक सांत दशमलव संख्या है $\left(1.0\right)$, इसलिए, $1$ एक अपरिमेय संख्या नहीं है और इसलिए, अपरिमेय संख्याओं के एक समुच्चय में गुणनात्मक तत्समक नहीं होता है।
अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के लिए, गुण – क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण होते हैं, लेकिन संवरक गुण, योगात्मक तत्समक गुण और गुणनात्मक तत्समक गुण नहीं होता है।
| संख्या श्रेणी | क्या गुणनात्मक तत्समक मौजूद है? |
| प्राकृतिक संख्याएं | हाँ |
| पूर्ण संख्याएं | हाँ |
| पूर्णांक | हाँ |
| परिमेय संख्याएं | हाँ |
| अपरिमेय संख्याएं | नहीं |
| वास्तविक संख्याएं | हाँ |
योगात्मक तत्समक और गुणनात्मक तत्समक के बीच अंतर
संख्याओं की योगात्मक तत्समक और गुणनात्मक तत्समक के बीच ये अंतर हैं।
| योगात्मक तत्समक | गुणनात्मक तत्समक |
| इसका उपयोग जोड़ प्रक्रिया में होता है | इसका उपयोग गुणन प्रक्रिया में होता है |
| $0$ योगात्मक तत्समक है | $0$ गुणनात्मक तत्समक है |
| $a + 0 = 0 + a = a$ के रूप में व्यक्त | a \times 1 = 1 \times a = a$ के रूप में व्यक्त |
| उदाहरण: $56 + 0 = 0 + 56 = 56$ | उदाहरण: $39 \times 1 = 1 \times 39 = 39$ |
निष्कर्ष
गुणनात्मक सर्वसमिका वह संख्या है जिसे किसी संख्या से गुणा करने पर वही परिणाम प्राप्त होता है। $1$ गणित में प्रयुक्त संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक है। कुछ समुच्चयों की गुणनात्मक तत्समक होता है, जबकि कुछ समुच्चय ऐसे भी होते हैं जिनमें गुणनात्मक तत्समक नहीं होता है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित में से कौन संख्याओं के लिए गुणनात्मक तत्समक है?
- $1$
- $0$
- $-1$
- इनमें से कोई भी नहीं
- निम्नलिखित में से किस समुच्चय का गुणनात्मक तत्समक है?
- प्राकृतिक संख्याएं
- पूर्ण संख्याएं
- पूर्णांक
- परिमेय संख्याएं
- वास्तविक संख्याएं
- निम्नलिखित में से किस समुच्चय का गुणनात्मक तत्समक नहीं है?
- प्राकृतिक संख्याएं
- पूर्ण संख्याएं
- पूर्णांक
- परिमेय संख्याएं
- वास्तविक संख्याएं
- गुणनात्मक तत्समक वह है जिसे किसी संख्या में जोड़ने पर वही परिणाम प्राप्त होता है
- सही
- गलत
- गुणनात्मक तत्समक वह है जिसे किसी संख्या में से घटाने पर वही परिणाम प्राप्त होता है
- सही
- गलत
- गुणनात्मक तत्समक वह है जिसे किसी संख्या से गुणा करने पर वही परिणाम प्राप्त होता है
- सही
- गलत
अनुशंसित पठन
- संवरक गुण (परिभाषा और उदाहरण)
- क्रमचयी गुण – परिभाषा और उदाहरण
- वितरणात्मक गुण – अर्थ और उदाहरण
- साहचर्य गुण – अर्थ और उदाहरण
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
गुणनात्मक तत्समक क्या है?
गुणनात्मक तत्समक वह संख्या है जिसे किसी संख्या से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है। संख्या $1$ को संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक कहा जाता है, क्योंकि किसी भी संख्या $a$, $a \times 0 = 0 \times a = a$ के लिए।
गणित में किस संख्या को गुणनात्मक तत्समक कहा जाता है?
$1$ को संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक कहा जाता है, क्योंकि किसी भी संख्या $a$ के लिए, $a \times 1 = 1 \times a = a$ ।
क्या $-1$ भी संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक है?
नहीं, $-1$ संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक नहीं है, क्योंकि जब किसी संख्या को $-1$ से गुणा किया जाता है, तो उसका चिह्न बदल जाता है और इसलिए अब वही संख्या नहीं रहती है।
क्या गुणनात्मक तत्समक और योगात्मक तत्समक समान हैं?
नहीं, गुणनात्मक तत्समक और योगात्मक तत्समक दो अलग-अलग अवधारणाएं हैं। गुणनात्मक तत्समक गुणन संचालन के लिए है, जबकि योगात्मक तत्समक जोड़ संचालन के लिए है।
गुणनात्मक तत्समक $1$ है, जबकि योगात्मक तत्समक $0$ है।
गुणनात्मक तत्समक को किसी भी संख्या से गुणा करने पर वही परिणाम प्राप्त होता है, जबकि योगात्मक तत्समक को किसी संख्या में जोड़ने पर वही परिणाम प्राप्त होता है।
क्या संख्याओं के सभी समुच्चयों का गुणनात्मक तत्समक होता है?
नहीं, संख्याओं के सभी समुच्चयों की गुणनात्मक तत्समक होता है। गुणनात्मक तत्समक वाले समुच्चय प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ हैं। जिस समुच्चय में गुणनात्मक तत्समक नहीं होता है वह अपरिमेय संख्याएँ।
