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गुणनखंड और गुणज दो संबंधित शब्द हैं। यदि कोई संख्या $a$ किसी अन्य संख्या $b$ का गुणनखंड है, तो संख्या $b$ पहली संख्या $a$ का गुणज होता है।
किसी संख्या का गुणनखंड वह संख्या होती है जो बिना कोई शेष छोड़े उसे पूर्ण रूप से विभाजित कर देती है, जबकि गुणक वह संख्या होती है जो किसी संख्या के गुणन सारणी में आती है। उदाहरण के लिए, $2$ $4$ का एक गुणनखंड है, क्योंकि $2$ बिना कोई शेष छोड़े $4$ को पूरी तरह से विभाजित करता है। इसी तरह, $4$ $2$ का गुणज है क्योंकि $4$ $2$ की गुणन तालिका में आता है।
गुणनखंड और गुणज गुणन और भाग से संबंधित हैं
गुणनखंड और गुणज दोनों गुणन और भाग के अंकगणितीय संक्रियाओं से संबंधित हैं।
यदि एक संख्या $a$ को $b \times c$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात $a = b \times c$, तो $b$ और $c$ को $a$ का गुणनखंड कहा जाता है और $a$ को कहा जाता है $b$ और साथ ही $c$ के गुणक।
उदाहरण के लिए, $12 = 3 \times 4$, यहां $3$ और $4$, $12$ के गुणनखंड हैं और $12$ $3$ के साथ-साथ $4$ का गुणज है।
आइए एक और उदाहरण लेते हैं, $72 = 12 \times 6$, यहां भी, $12$ और $6$ $72$ के गुणनखंड हैं और $72$ $12$ और साथ ही $6$ का गुणज है।
यदि एक संख्या $a$ को $b \div c$, यानी $a = b \div c$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो $a$ और $c$ को $b$ का गुणनखंड कहा जाता है और $b$ को $a$ और $c$ दोनों का गुणज कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, $5 = 15 \div 3$, फिर $5$ और $3$, $15$ के गुणनखंड हैं और $15$ $5$ और $3$ दोनों का गुणज हैं।
आइए एक अन्य उदाहरण पर विचार करें, $8 = 56 \div 7$, फिर $8$ और $7$ $56$ के गुणनखंड हैं और $56$ को $8$ और $7$ दोनों का गुणज कहा जाता है।
किसी संख्या के गुणनखंड और गुणज कैसे ज्ञात करें?
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गुणनखंड और गुणज गुणन और भाग की संक्रियाओं से संबंधित हैं। तो, आप किसी दी गई संख्या के गुणनखंड और गुणज ज्ञात करने के लिए गुणा और भाग की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं।
किसी संख्या के गुणनखंड ज्ञात करना
किसी संख्या के गुणनखंड ज्ञात करने की प्रक्रिया को समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण
Ex 1: $24$ के गुणनखंड ज्ञात करें
$1$ की संख्या से प्रारंभ करें और एक संगत संख्या ज्ञात करें जिसे गुणा करने पर $24$ मिलता है।
$1 \times 24 = 24$
अब, अगली संख्या पर आते हैं, अर्थात $2$। फिर से एक समान संख्या ज्ञात कीजिए जिसे गुणा करने पर $24$ मिलता है। संख्या $12$ है।
$2 \times 12 = 24$
अगली संख्या, अर्थात $3$ के लिए प्रक्रिया को दोहराएं।
$3 \times 8 = 24$
अगली संख्या: $4$।
$4 \times 6 = 24$
अगली संख्या: $5$. ध्यान दें कि $24$, $5$ से विभाज्य नहीं है, इसलिए अगली संख्या पर आगे बढ़ें, अर्थात $6$।
$6 \times 4 = 24$
ध्यान दें कि $4 \times 6 = 24$ और $6 \times 4 = 24$ एक ही हैं (संख्याओं की क्रमचय गुण), इसलिए यहां रुकें और उन सभी संख्याओं को एकत्रित करें जिन्हें गुणा करने पर $24$ मिलता है। य़े हैं
$1 \times 24 = 24$
$2 \times 12 = 24$
$3 \times 8 = 24$
$4 \times 6 = 24$
इस प्रकार, $24$ के गुणनखंड $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ और $24$ हैं।
नोट:
- $1$ प्रत्येक संख्या का गुणनखंड होता है
- संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होता है
Ex 2: $72$ के गुणनखंड ज्ञात करें
$1$ की संख्या से प्रारंभ करें और एक संगत संख्या ज्ञात करें जिसे गुणा करने पर $72$ मिलता है। संख्या $72$ है।
$1 \times 72 = 72$
अब, अगली संख्या पर चलते हैं, अर्थात $2$। फिर से एक समान संख्या ज्ञात कीजिए जिसे गुणा करने पर $72$ मिलता है। संख्या $36$ है।
$2 \times 36 = 72$
अगली संख्या, अर्थात $3$ के लिए प्रक्रिया को दोहराएं।
$3 \times 24 = 72$
अगली संख्या: $4$।
$4 \times 18 = 72$
अगली संख्या $5$ है। परन्तु $72$, $5$ से विभाज्य नहीं है, इसलिए अगली संख्या, यानी $6$ पर जाएँ।
$6 \times 12 = 72$
अगली संख्या $7$ के लिए, संख्या $72$ विभाज्य नहीं है, इसलिए अगली संख्या $8$ पर जाएँ।
$8 \times 9 = 72$
अगली संख्या $9$ और $9 \times 8 = 72$ है। चूंकि संख्याएं दोहराने लगती हैं, इसलिए प्रक्रिया को रोकें और संख्या जोड़े एकत्र करें।
$1 \times 72 = 72$
$2 \times 36 = 72$
$3 \times 24 = 72$
$4 \times 18 = 72$
$6 \times 12 = 72$
$8 \times 9 = 72$
इस प्रकार, $72$ के गुणनखंड $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $9$, $12, $18$, $24$, $36$ और $72$ हैं।
किसी संख्या के गुणज ज्ञात करना
किसी संख्या के गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो हमें किसी संख्या को एक पूर्ण संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं (वे संख्याएँ जो आपको गुणा तालिका में प्राप्त होती हैं)।
किसी संख्या के गुणज ज्ञात करने के लिए, उन सभी संख्याओं को नोट कर लें जो किसी संख्या के दूसरी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं।
किसी भी संख्या के गुणज ज्ञात करने के लिए स्किप काउंटिंग विधि सबसे सरल विधियों में से एक है।
आइए किसी संख्या के गुणज ज्ञात करने की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण
Ex 1: $17$ के पहले कुछ गुणज ज्ञात कीजिए।
नोट: किसी भी संख्या के लिए अनंत (अनगिनत) गुणज होते हैं।
| $17$ के गुणज | विवरण |
| $17$ | $17 \times 1$ |
| $34$ | $17 \times 2$, or $17 + 17$ |
| $51$ | $17 \times 3$, or $17 + 17 + 17$ |
| $68$ | $17 \times 4$, or $17 + 17 + 17 + 17$ |
| $85$ | $17 \times 5$, or $17 + 17 + 17 + 17 + 17$ |
| $102$ | $17 \times 6$, or $17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17$ |
| $119$ | $17 \times 7$, or $17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17$ |
$17$ के पहले $7$ गुणज $17$, $34$, $51$, $68$, $85$, $102$ और $119$ हैं।
नोट: एक संख्या अपने आप का एक गुणज होता है।
Ex 2: $29$ के पहले कुछ गुणज ज्ञात कीजिए।
| $29$ के गुणज | विवरण |
| $29$ | $29 \times 1$ |
| $58$ | $29 \times 2$, or $29 + 29$ |
| $87$ | $29 \times 3$, or $29 + 29 + 29$ |
| $116$ | $29 \times 4$, or $29 + 29 + 29 + 29$ |
| $145$ | $29 \times 5$, or $29 + 29 + 29 + 29 + 29$ |
| $174$ | $29 \times 6$, or $29 + 29 + 29 + 29 + 29 + 29$ |
| $203$ | $29 \times 7$, or $29 + 29 + 29 + 29 + 29 + 29 + 29$ |
$29$ के पहले $7$ गुणज $29$, $58$, $87$, $1116$, $145$, $174$ और $203$ हैं।
गुणनखंडों और गुणजों के गुण
नीचे सूचीबद्ध कारकों और गुणकों के कुछ गुण हैं।
- गुणनखंड और गुणज केवल पूर्ण संख्याओं के लिए उपयोग किए जाते हैं और लागू होते हैं
- $1$ प्रत्येक संख्या का गुणनखंड है
- प्रत्येक संख्या के लिए $1$ सबसे छोटा गुणनखंड है
- प्रत्येक संख्या के लिए, संख्या ही सबसे बड़ा गुणनखंड है
- प्रत्येक संख्या के लिए कारकों की एक सीमित संख्या होती है
- यदि किसी संख्या के केवल दो गुणनखंड हैं, अर्थात् $1$ और स्वयं संख्या, तो वह संख्या अभाज्य संख्या कहलाती है
- किसी संख्या के गुणनखंड हमेशा दी गई संख्या से कम या उसके बराबर होते हैं
- $0$ प्रत्येक संख्या का गुणज है
- प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणज होती है
- प्रत्येक संख्या के अनंत (या अनगिनत) गुणज होते हैं
- किसी संख्या के गुणज हमेशा दी गई संख्या के बराबर या उससे अधिक होते हैं ($0$ को छोड़कर)
निष्कर्ष
गुणनखंड और गुणज एक दूसरे से संबंधित हैं। यदि $a$, $b$ का गुणनखंड है, तो $b$ $a$ का गुणज होता है। किसी भी संख्या के लिए गुणनखंडों की एक सीमित संख्या होती है लेकिन गुणकों की संख्या अनंत होती है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- सही या गलत बताएं
- $0$ प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड है
- $0$ प्रत्येक संख्या का गुणज है
- $1$ प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड है
- $1$ प्रत्येक संख्या का गुणज है
- प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड है
- प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणज होती है
- प्रत्येक संख्या के लिए कारकों की एक सीमित संख्या होती है
- प्रत्येक संख्या के लिए गुणकों की एक परिमित संख्या होती है
- प्रत्येक संख्या के लिए अनंत गुणनखंड होते हैं
- प्रत्येक संख्या के लिए गुणजों की अनंत संख्या होती है
- निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड ज्ञात कीजिए
- $128$
- $56$
- $98$
- $78$
- $132$
- निम्नलिखित संख्याओं के पहले $8$ गुणज ज्ञात करें
- $13$
- $19$
- $21$
- $32$
- $64$
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आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
किसी संख्या के गुणनखंड क्या होते हैं?
किसी संख्या का गुणनखंड वह संख्या है जो इसे बिना कोई शेष छोड़े पूरी तरह से विभाजित करती है या उस संख्या से विभाजित करने पर शेष $0$ छोड़ती है।
उदाहरण के लिए, $7$ $28$ का एक गुणनखंड है, क्योंकि $28$ को $7$ से भाग देने पर शेष $0$ बचता है।
$28 = 7 \times 4$।
$4$ भी $28$ का एक गुणनखंड है।
किसी संख्या के गुणज क्या होते हैं?
गुणज वह संख्या है जो किसी संख्या को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होती है। (गुणज वह संख्या है जो किसी संख्या की गुणन तालिका में गुणनफल के रूप में दिखाई देती है)।
उदाहरण के लिए, $56$, $7$ का गुणज है, जैसा कि $7 \times 8 = 56$ है।
$56$ भी $8$ का गुणज है।
गुणनखंडों और गुणजों के बीच क्या संबंध है?
गुणनखंडों और गुणजों के बीच एक संबंध है। यदि $a$, $b$ का गुणनखंड है, तो $b$ $a$ का गुणज है।
उदाहरण के लिए, $14$, $56$ का गुणनखंड है और $56$, $14$ का गुणज है। $\left(14 \times 4 = 56 \right)$।
$4$ भी $56$ का एक गुणनखंड है और $56$ $4$ का गुणज है।
किसी संख्या के गुणनखंड और गुणज में क्या अंतर है?
गुणनखंडों और गुणजों के बीच अंतर हैं:
a) किसी संख्या के गुणनखंड हमेशा दी गई संख्या से कम या उसके बराबर होते हैं। जबकि किसी संख्या के गुणज हमेशा दी गई संख्या के बराबर या उससे अधिक होते हैं ($0$ को छोड़कर)
b) एक गुणनखंड एक संख्या है जिसमें हम दी गई संख्या को विभाजित कर रहे हैं, जबकि एक गुणक ऐसी संख्या होती है जिसे हम छोटी इकाइयों में विभाजित कर रहे हैं
हम गुणनखंडों और गुणजों का उपयोग कहाँ करते हैं?
हमारे दैनिक जीवन में गुणनखंडों और गुणजों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है। जब हम चीजों को अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित करना चाहते हैं तो हम गुणनखंडों और गुणजों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, किताबों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित करना, बच्चों के अलग-अलग तरीके से समूह बनाना आदि।
