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गणित में सबसे बड़ी खोजें

अक्टूबर 18, 2021

ऑनलाइन गणित प्रतियोगिता

This post is also available in: English (English)

 

 

गणित मानव विचार और तर्क का एक मूलभूत हिस्सा है, और दुनिया और खुद को समझने के प्रयासों का अभिन्न अंग है। गणित मानसिक अनुशासन के निर्माण का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है और तार्किक तर्क और मानसिक कठोरता को प्रोत्साहित करता है। इसके अलावा, गणितीय ज्ञान विज्ञान, सामाजिक अध्ययन और यहां तक कि संगीत और कला जैसे अन्य स्कूली विषयों की सामग्री को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

 

 

 

इस लेख में, हम आपके लिए गणित की कुछ महान खोजों को लेकर आए हैं।

 

 

1. त्रिकोणमिति

 

 

 

यद्यपि त्रिकोणमिति ग्रीक काल में वापस चली जाती है, इस विषय का चरित्र आर्यभट्ट के समय के बाद ही आधुनिक रूप से मिलता जुलता होने लगा। यहाँ से यह अरबों के रास्ते यूरोप में गया और अपने वर्तमान स्वरूप तक पहुँचने के लिए कई संशोधनों में चला गया। प्राचीन काल में त्रिकोणमिति को खगोल विज्ञान का अंग माना जाता था। तीन कार्य पेश किए गए: ज्या, कोज्या और उक्रमज्य

 

 

 

पहला है r sin a जहां r वृत्त की त्रिज्या है और sin a केंद्र पर अंतरित कोण है। दूसरा है r cos a और तीसरा है r (1 – cos a)। वृत्त की त्रिज्या 1 लेने पर हमें आधुनिक त्रिकोणमितीय फलन प्राप्त होते हैं। 0 और 90° के बीच स्थित विभिन्न चापों के लिए साइन तालिकाओं के निर्माण के लिए एक चाप की ज्या और उसके अभिन्न और भिन्नात्मक गुणकों के बीच विभिन्न संबंधों का उपयोग किया गया था।

 

 


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व्यावहारिक मुद्दों को हल करने में त्रिकोणमिति का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग नहीं हो सकता है, लेकिन इसका उपयोग विभिन्न चीजों में किया जाता है जिसका हम बहुत आनंद लेते हैं। उदाहरण के लिए, संगीत, जैसा कि आप जानते हैं कि ध्वनि तरंगों में यात्रा करती है, और यह पैटर्न हालांकि साइन या कोसाइन फ़ंक्शन के रूप में नियमित नहीं है, फिर भी कंप्यूटर संगीत के विकास में उपयोगी है। एक कंप्यूटर स्पष्ट रूप से संगीत को सुन और समझ नहीं सकता जैसा कि हम करते हैं, इसलिए कंप्यूटर इसकी घटक ध्वनि तरंगों द्वारा गणितीय रूप से इसका प्रतिनिधित्व करते हैं। और इसका मतलब है कि ध्वनि इंजीनियरों को कम से कम त्रिकोणमिति की मूल बातें जानने की जरूरत है। और ये साउंड इंजीनियर जो अच्छा संगीत तैयार करते हैं, उसका उपयोग हमें अपने व्यस्त, तनाव भरे जीवन से शांत करने के लिए किया जाता है – त्रिकोणमिति के लिए धन्यवाद।

 

 

  • त्रिकोणमिति का उपयोग इमारतों या पहाड़ों की ऊंचाई को मापने के लिए किया जाता है: यदि आप इमारत को देखने के लिए दूरी और ऊंचाई के कोण को जानते हैं तो आप आसानी से इमारत की ऊंचाई का पता लगा सकते हैं। इसी तरह, यदि आपके पास त्रिभुज की एक भुजा और भवन के शीर्ष से अवनमन कोण का मान है और त्रिभुज में दूसरी भुजा है, तो आपको केवल त्रिभुज की एक भुजा और कोण जानने की आवश्यकता है।
  • वीडियो गेम में त्रिकोणमिति: क्या आपने कभी मारियो, गेम खेला है? जब आप उसे इतनी आसानी से देखते हैं तो बाधाओं पर फिसल जाते हैं। वह वास्तव में वाई-अक्ष के साथ सीधे कूदता नहीं है, यह थोड़ा घुमावदार पथ या एक परवलयिक पथ है जो वह अपने रास्ते में बाधाओं से निपटने के लिए लेता है। त्रिकोणमिति मारियो को इन बाधाओं पर कूदने में मदद करती है। जैसा कि आप जानते हैं कि गेमिंग उद्योग आईटी और कंप्यूटर के बारे में है और इसलिए इन इंजीनियरों के लिए त्रिकोणमिति का समान महत्व है।
  • निर्माण में त्रिकोणमिति: निर्माण में, हमें निम्नलिखित की गणना करने के लिए त्रिकोणमिति की आवश्यकता होती है:
    • खेतों, लॉट और क्षेत्रों को मापना;
    • दीवारों को समानांतर और लंबवत बनाना;
    • सिरेमिक टाइलें स्थापित करना;
    • छत का झुकाव;
    • भवन की ऊंचाई, चौड़ाई की लंबाई, आदि, और कई अन्य ऐसी चीजें जहां त्रिकोणमिति का उपयोग करना आवश्यक हो जाता है।
    • आर्किटेक्ट्स स्ट्रक्चरल लोड, रूफ स्लोप, ग्राउंड सरफेस और सन शेडिंग और लाइट एंगल सहित कई अन्य पहलुओं की गणना के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करते हैं।
  • फ्लाइट इंजीनियरिंग में त्रिकोणमिति: फ्लाइट इंजीनियरों को हवा की गति और दिशा के साथ-साथ अपनी गति, दूरी और दिशा को भी ध्यान में रखना होता है। हवा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है कि कैसे और कब एक विमान पहुंचेगा जहां कभी भी इसे हल करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करके त्रिकोण बनाने के लिए वैक्टर का उपयोग करके हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई विमान 234 मील प्रति घंटे, पूर्व के 45 डिग्री उत्तर पर यात्रा कर रहा है, और दक्षिण की ओर 20 मील प्रति घंटे की रफ्तार से हवा चल रही है। त्रिकोणमिति आपके त्रिभुज के उस तीसरे पक्ष को हल करने में मदद करेगी जो विमान को सही दिशा में ले जाएगा, विमान वास्तव में अपने पाठ्यक्रम में जोड़े गए हवा के बल के साथ यात्रा करेगा।
  • पुरातत्व में त्रिकोणमिति: त्रिकोणमिति का उपयोग उत्खनन स्थलों को कार्य के समान क्षेत्रों में ठीक से विभाजित करने के लिए किया जाता है। पुरातत्वविद सभ्यता द्वारा उपयोग किए जाने वाले विभिन्न उपकरणों की पहचान करते हैं, त्रिकोणमिति का उपयोग करके उन्हें इन उत्खनन में मदद मिल सकती है। वे इसका उपयोग भूमिगत जल प्रणालियों से दूरी मापने के लिए भी कर सकते हैं।
  • क्रिमिनोलॉजी में त्रिकोणमिति: क्रिमिनोलॉजी में, त्रिकोणमिति एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र की गणना करने में मदद कर सकती है, यह अनुमान लगाने के लिए कि कार दुर्घटना में टक्कर का कारण क्या हो सकता है या कोई वस्तु कहीं से कैसे गिर गई, या किस कोण पर गोली चलाई गई, आदि।
  • समुद्री जीव विज्ञान में त्रिकोणमिति: समुद्री जीवविज्ञानी अक्सर माप स्थापित करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, यह पता लगाने के लिए कि विभिन्न गहराई पर प्रकाश का स्तर शैवाल की प्रकाश संश्लेषण की क्षमता को कैसे प्रभावित करता है। त्रिकोणमिति का प्रयोग खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करने में किया जाता है। इसके अलावा, समुद्री जीवविज्ञानी समुद्री जानवरों और उनके व्यवहार को मापने और समझने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करते हैं। समुद्री जीवविज्ञानी दूर से जंगली जानवरों के आकार को निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग कर सकते हैं।
  • नेविगेशन में त्रिकोणमिति: त्रिकोणमिति का उपयोग उत्तर, दक्षिण, पूर्व या पश्चिम जैसी दिशाओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, यह आपको बताता है कि सीधी दिशा में जाने के लिए कंपास के साथ कौन सी दिशा लेनी है। इसका उपयोग नेविगेशन में किसी स्थान को इंगित करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग समुद्र में एक बिंदु से किनारे की दूरी का पता लगाने के लिए भी किया जाता है। इसका उपयोग क्षितिज को देखने के लिए भी किया जाता है।

 

2. द्विघात सूत्र

 

 

 

द्विघात सूत्र के इतिहास का पता प्राचीन मिस्रवासियों से लगाया जा सकता है। सिद्धांत यह है कि मिस्रवासी जानते थे कि विभिन्न आकृतियों के क्षेत्र की गणना कैसे की जाती है, लेकिन किसी दिए गए आकार के पक्षों की लंबाई की गणना कैसे करें, उदा। दी गई मंजिल योजना बनाने के लिए आवश्यक दीवार का आकार।

 

 

 

व्यावहारिक समस्या को हल करने के लिए, लगभग 1500 ईसा पूर्व तक, मिस्र के गणितज्ञों ने विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल और भुजा की लंबाई के लिए एक तालिका बनाई थी। इस तालिका का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, घास की एक निश्चित मात्रा को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक घास के आकार का निर्धारण करने के लिए।

 

 

 

हालांकि इस पद्धति ने ठीक काम किया, यह एक सामान्य समाधान नहीं था। अगला दृष्टिकोण बेबीलोनियों से आया हो सकता है, जिन्हें मिस्रियों पर एक फायदा था कि उनकी संख्या प्रणाली आज के उपयोग की तरह अधिक थी (हालांकि यह सेक्सजेसिमल या बेस -60 थी)। इससे जोड़ और गुणा आसान हो गया। ऐसा माना जाता है कि लगभग 400 ईसा पूर्व तक, बेबीलोनियों ने क्षेत्रों से जुड़ी सामान्य समस्याओं को हल करने के लिए वर्ग को पूरा करने की विधि विकसित कर ली थी। लगभग उसी समय चीनी दस्तावेजों में भी इसी तरह की पद्धति दिखाई देती है।

 

 


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यह भारतीय गणितज्ञ, ब्रह्मगुप्त थे, जो द्विघात समीकरण के समाधान के साथ आए थे, उनके 628 ईस्वी के ग्रंथ ब्रह्मस्फुशसिद्धांत (‘ब्रह्मा का सही ढंग से स्थापित सिद्धांत’) में।

 

 

 

वर्ग और आयताकार निकायों के क्षेत्र को आसानी से खोजने की सरल आवश्यकता के कारण द्विघात समीकरण अस्तित्व में आया, लेकिन इसकी उत्पत्ति के दिनों से, यह लोकप्रिय गणित समीकरण अब वास्तविक दुनिया में इसके महत्व को साबित करने के लिए एक लंबा सफर तय कर चुका है।

 

 

  • खेल विश्लेषक और टीम चयनकर्ता समय के साथ एथलीटों के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए विभिन्न द्विघात समीकरणों का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, भाला और बास्केटबॉल जैसे खेल आयोजन अधिक स्कोर करने के लिए आवश्यक सटीक दूरी, गति या समय का पता लगाने के लिए द्विघात सूत्रों का उपयोग करते हैं।
  • सैन्य और कानून प्रवर्तन इकाइयां मिसाइलों, चलती वाहनों और विमानों की गति की गणना करने के लिए द्विघात सूत्रों का उपयोग करती हैं। द्विघात समीकरणों के सूत्रों का उपयोग करके विमानों, टैंकों और जेट विमानों के लैंडिंग निर्देशांक भी निर्धारित किए जाते हैं।
  • वाहनों के पुर्जे जैसे ब्रेक और घुमावदार तत्व द्विघात सूत्र के आधार पर डिज़ाइन किए गए हैं। पेंशन योजना, बीमा मॉडल, कर्मचारी कार्य निष्पादन; इन सभी मापदंडों की गणना द्विघात समीकरणों का उपयोग करके की जाती है। इनके अलावा, कृषि भूमि की सीमाओं और सबसे अधिक उपज वाले खेतों के क्षेत्र को भी द्विघात सूत्र के माध्यम से मापा जाता है।
  • स्मारकों, कार्यालयों, फ्लैटों, सड़कों, पुलों, और बहुत कुछ के निर्माण में जटिल गणना और क्षेत्र माप शामिल हैं, इसलिए इन सभी गणितीय जटिलताओं को विभिन्न द्विघात सूत्रों का उपयोग करके निपटाया जाता है।
  • सिग्नल को पकड़ने के लिए उपग्रह डिश को जिस कोण पर सेट किया जाता है, वह भी द्विघात समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, यह पता लगाने के लिए कि एक डिश एक ही समय में कई उपग्रहों से सिग्नल कैसे प्राप्त करता है, एक द्विघात समीकरण को ध्यान में रखा जाता है।

 

3. यूलर आइडेंटिटी

 

 

 

एक प्रसिद्ध गणितीय समीकरण के रूप में, यूलर की पहचान को अक्सर गणितीय गहना के रूप में संदर्भित किया जाता है। यूलर की पहचान प्रसिद्ध गणितीय समीकरण है e^(i*pi) + 1 = 0 जहां e यूलर की संख्या है, लगभग 2.71828 के बराबर है, i वह काल्पनिक संख्या है जहां i^2 = -1, और pi एक वृत्त का अनुपात है वृत्त के व्यास की परिधि लगभग 3.14 के बराबर। इसका नाम स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1700 के दशक में इस सूत्र की खोज की थी।

 

 

 

यह याद रखने लायक क्यों है? यह याद रखने योग्य है क्योंकि यह एकमात्र समीकरण है जो 0 और 1 के साथ pi, i, और e के गणितीय स्थिरांक को एक साथ जोड़ता है।

 

 

 

गणितज्ञ यूलर की पहचान से प्यार करते हैं क्योंकि इसे गणितीय सुंदरता माना जाता है क्योंकि यह गणित के पांच स्थिरांक और तीन गणित संचालन को जोड़ती है, प्रत्येक केवल एक बार होता है। इसमें शामिल तीन ऑपरेशन घातांक, गुणा और जोड़ हैं। यह समीकरण जिन पांच स्थिरांकों को जोड़ती है वे हैं संख्या 0, संख्या 1, संख्या pi, संख्या e और संख्या i

 

 

 

हम संख्या 0 और 1 जानते हैं। हमें याद है कि पीआई की संख्या लगभग 3.14 है और यह हमेशा के लिए चलती है। संख्या e, संख्या पीआई की तरह, हमेशा के लिए जारी है और लगभग 2.71828 है। संख्या i हमारी काल्पनिक संख्या है जहाँ i^2 -1 के बराबर है।

 

 


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गणितज्ञों के लिए यह इतना सुंदर क्यों है? यह एक सुंदरता है क्योंकि यह एक ऐसा सरल समीकरण है जो गणित के इतने सारे स्थिरांक के संबंध को दर्शाता है। क्या आप ऐसे अन्य समीकरणों के बारे में सोच सकते हैं जो उतने ही सरल हों और जितने स्थिरांकों को आपस में जोड़ते हों?

 

 

 

यूलर की पहचान वास्तव में यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है, e^(i*x) = cos x + i sin x, जब x, pi के बराबर होता है। जब x, pi के बराबर होता है, तो pi की कोज्या -1 के बराबर होती है और pi की ज्या 0 के बराबर होती है, और हमें e^(i*pi) = -1 + 0i प्राप्त होता है। 0 काल्पनिक भाग चला जाता है, और हमें e^(i*pi) = -1 मिलता है। जोड़कर -1 को दूसरी तरफ ले जाने से हमें यूलर की पहचान मिलती है। यूलर के सूत्र को देखते हुए, e^(i*x) = cos x + i sin x, हम देखते हैं कि e को एक काल्पनिक शक्ति में ले जाने के लिए एक वास्तविक भाग (कोसाइन भाग) और एक काल्पनिक भाग (साइन) से मिलकर एक जटिल संख्या के बराबर होती है। अंश)।

 

 

4. फाइबोनैचि संख्याएँ

 

 

 

फाइबोनैचि अनुक्रम गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्रों में से एक है। अनुक्रम में प्रत्येक संख्या उसके पहले की दो संख्याओं का योग है। तो, अनुक्रम जाता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, और इसी तरह। इसका वर्णन करने वाला गणितीय समीकरण Xn+2= Xn+1 + Xn है

 

 

 

हाई-स्कूल और स्नातक कक्षाओं का मुख्य आधार, इसे “प्रकृति का गुप्त कोड” और “प्रकृति का सार्वभौमिक नियम” कहा जाता है। ऐसा कहा जाता है कि यह गीज़ा के महान पिरामिड से लेकर उस प्रतिष्ठित सीशेल तक हर चीज़ के आयामों को नियंत्रित करता है, जो संभवत: आपके स्कूल की गणित की पाठ्यपुस्तक के कवर पर है।

 

 

 

कई स्रोतों का दावा है कि इसे पहली बार लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा खोजा गया था या “आविष्कार” किया गया था। स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ कीथ डेवलिन ने कहा कि इतालवी गणितज्ञ, जिनका जन्म 1170 ई. के आसपास हुआ था, मूल रूप से पीसा के लियोनार्डो के रूप में जाने जाते थे। केवल 19 वीं शताब्दी में इतिहासकारों ने फिबोनाची उपनाम (मोटे तौर पर “बोनैकी कबीले का पुत्र”) के साथ आया था, गणितज्ञ को पीसा के एक अन्य प्रसिद्ध लियोनार्डो से अलग करने के लिए, डेवलिन ने कहा। [Large Numbers that Define the Universe]

 

 

 

लेकिन पीसा के लियोनार्डो ने वास्तव में अनुक्रम की खोज नहीं की, डेवलिन ने कहा, जो “फाइंडिंग फाइबोनैचि: द क्वेस्ट टू रिडिस्कवर द फॉरगॉटन मैथमैटिकल जीनियस हू चेंजेड द वर्ल्ड” के लेखक भी हैं (प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2017)। हिंदू-अरबी अंक प्रणाली का इस्तेमाल करने वाले प्राचीन संस्कृत ग्रंथों में पहले इसका उल्लेख है, और वे सदियों से पीसा के लियोनार्डो की भविष्यवाणी करते हैं।

 

 


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लेकिन वास्तव में फाइबोनैचि अनुक्रम का क्या महत्व है? एक साफ-सुथरा शिक्षण उपकरण होने के अलावा, यह प्रकृति में कुछ स्थानों पर दिखाई देता है। हालांकि, यह कुछ गुप्त कोड नहीं है जो ब्रह्मांड की वास्तुकला को नियंत्रित करता है।

 

 

 

यह सच है कि फाइबोनैचि अनुक्रम कसकर जुड़ा हुआ है जिसे अब सुनहरे अनुपात के रूप में जाना जाता है (जो एक वास्तविक अनुपात भी नहीं है क्योंकि यह एक अपरिमेय संख्या है)। सीधे शब्दों में कहें, अनुक्रम में संख्याओं का अनुपात, जैसे-जैसे अनुक्रम अनंत तक जाता है, सुनहरे अनुपात के करीब पहुंच जाता है, जो कि 1.6180339887498948482 है… वहां से, गणितज्ञ गणना कर सकते हैं जिसे गोल्डन स्पाइरल या लॉगरिदमिक स्पाइरल कहा जाता है, जिसका विकास कारक बराबर होता है। सुनहरा अनुपात।

 

 

  • फिबोनाची सट्टेबाजी प्रणाली: जुआरी हमेशा पैसे के लिए अपना रास्ता खोजना चाहते हैं, या यों कहें, सट्टेबाजी के सफल तरीके खोजते हैं जो उन्हें हारने से ज्यादा जीत दिलाएगा। तो, फिबोनाची सट्टेबाजी प्रणाली अस्तित्व में आई। सिस्टम को अक्सर रूले और क्रेप्स के साथ प्रयोग किया जाता है, पास और पास के दांव के लिए और रूले में बाहरी दांव पर दांव लगाते समय। कुछ इसका उपयोग बैकारेट खेलते समय करते हैं जबकि अन्य इसका उपयोग लाठी खेलते समय करते हैं। सबसे पहले, आपको एक इकाई, एक प्रारंभिक इकाई की पहचान करने की आवश्यकता है। अनुक्रम में, पहली इकाई 1 है, क्योंकि शून्य वास्तव में गिनती नहीं है। फिर, आपको यह चुनने की आवश्यकता है कि आप प्रति यूनिट कितना दांव लगाने जा रहे हैं। मान लीजिए, पाँच डॉलर। आपका पहला दांव पांच डॉलर का होगा। यदि आप हार जाते हैं, तो आप क्रम में आगे बढ़ते हैं, और पांच और दांव लगाते हैं। यदि आप फिर से हार जाते हैं, तो आप दस डॉलर का दांव लगाएंगे। हारना आपको क्रम में ऊपर ले जाता है, जीत आपको नीचे ले जाती है। यदि आप अपनी दस-डॉलर की शर्त के साथ जीत जाते हैं, तो आप क्रम से नीचे जाते हैं और एक बार फिर पांच डॉलर की शर्त लगाते हैं। ध्यान दें कि सट्टेबाजी प्रणाली अक्सर काम नहीं करती है और यह कि सट्टेबाजी अपने आप में जुआ है, जिसका अर्थ है यादृच्छिक घटनाएँ जिनका आपके सिस्टम पर या अन्यथा लगभग कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
  • किलोमीटर को मील में बदलना: फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात स्वर्ण अनुपात, 1.618034 के बहुत करीब है। चूंकि 1 मील लगभग 1.609 किलोमीटर है, यह स्वर्ण अनुपात के बहुत करीब है। आप रजिस्टर को फाइबोनैचि क्रम में नीचे खिसका कर किलोमीटर से मील की गणना कर सकते हैं।
  • प्रकृति में फाइबोनैचि श्रृंखला: फाइबोनैचि अनुक्रम पूरे प्रकृति में भी पाया जाता है। यह एक स्वाभाविक रूप से होने वाला पैटर्न है।
    • पेड़ की शाखाएं: हालांकि हम सभी आमतौर पर अपने दैनिक जीवन में हर जगह पेड़ देखते हैं, आपने कितनी बार उनमें पैटर्न की तलाश की है? पेड़ों में, फाइबोनैचि ट्रंक के विकास में शुरू होता है और फिर पेड़ के बड़े और लम्बे होने पर बाहर की ओर बढ़ता है। हम उनकी शाखाओं में सुनहरा अनुपात भी देखते हैं क्योंकि वे एक ट्रंक से शुरू होती हैं जो 2 में विभाजित होती है, फिर नई शाखाओं में से एक 2 में उपजी होती है, और यह पैटर्न जारी रहता है।
    • तूफान: तूफान की आपकी आंख फाइबोनैचि अनुक्रम में 0 या 1 की तरह है, जैसा कि आप वामावर्त सर्पिल में चलते हैं, आप इसे एक सुसंगत पैटर्न में बढ़ते हुए पाते हैं। यह पैटर्न काफी हद तक गोल्डन रेशियो जैसा है।
    • सीशेल्स: जब खुले को काटा जाता है, तो नॉटिलस के गोले एक लघुगणकीय सर्पिल बनाते हैं, जो कैमरा नामक कक्षों वाले वर्गों से बना होता है। प्रत्येक नया कक्ष इससे पहले के दो कैमरों के आकार के बराबर है, जो लघुगणकीय सर्पिल बनाता है। यह आनुपातिक वृद्धि इसलिए होती है क्योंकि नॉटिलस अपने पूरे जीवन में अपने पूर्ण आकार तक पहुंचने तक निरंतर दर से बढ़ता है।
    • फूल की पंखुड़ियां: फूल की पंखुड़ियां फिबोनाची के अनुरूप विकसित होती हैं। पौधों में सबसे अधिक दिखाई देने वाले फाइबोनैचि अनुक्रम में से, लिली, जिसमें तीन पंखुड़ियां होती हैं, और बटरकप, उनकी पांच पंखुड़ियों के साथ, कुछ सबसे आसानी से पहचाने जाते हैं।
    • आकाशगंगाएँ: यदि आप बारीकी से देखें तो सुनहरा सर्पिल आकाशगंगाओं की “बाहों” के आकार में पाया जा सकता है। यह नहीं कहा जा सकता है कि आकाशगंगाएँ एक पूर्ण सर्पिल का अनुसरण करती हैं, क्योंकि हम आकाशगंगा को सटीक रूप से नहीं माप सकते हैं, लेकिन कागज पर, हम इसे माप सकते हैं और आकार देख सकते हैं।
    • फ्लावर हेड्स: ज्यादातर समय, बीज फूल के सिर के केंद्र से आते हैं और बाहर निकल जाते हैं। इसका एक आदर्श उदाहरण अपने सर्पिल पैटर्न के साथ सूरजमुखी है। बिंदुओं पर, उनके बीज शीर्ष इतने पैक हो जाते हैं कि उनकी संख्या बहुत अधिक हो सकती है, कभी-कभी 144 या अधिक तक। इन सर्पिलों का विश्लेषण करते समय, संख्या लगभग हमेशा फाइबोनैचि होती है।
    • मानव शरीर के अंग: आप फाइबोनैचि अनुक्रम की सुंदरता का एक उदाहरण हैं। मानव शरीर में आपके चेहरे से लेकर आपके कान से लेकर आपके हाथों तक, फाइबोनैचि अनुक्रम अनुपात के विभिन्न प्रतिनिधित्व हैं। अब आप गणितीय रूप से भव्य सिद्ध हो चुके हैं।

 

5. बाइनरी नंबर

 

 

 

बाइनरी नंबर सिस्टम के निर्माण ने अनिवार्य रूप से डिजिटल सर्किटरी, कंप्यूटर और कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र की नींव रखी, जैसा कि हम आज की तकनीकी रूप से उन्नत दुनिया में जानते हैं। जैसा कि हमारी दुनिया ने तकनीकी रूप से सरल यांत्रिकी से लेकर क्वांटम मॉडलिंग तक सभी तरह से पार कर लिया है, समय के साथ-साथ मनुष्यों और मशीनों द्वारा गिनने की आवश्यकता कम नहीं हुई है। गणना के लिए मनुष्यों द्वारा उपयोग की जाने वाली प्राथमिक प्रणाली दशमलव संख्या प्रणाली है, हालांकि, डिजिटल कंप्यूटरों और कंप्यूटर-आधारित उपकरणों में एक अधिक परिष्कृत, सीधी संख्या प्रणाली की आवश्यकता के कारण द्विआधारी संख्या प्रणाली को अपनाया गया।

 

 

 

बाइनरी नंबर सिस्टम अपने नामकरण में बहुत ही शाब्दिक है। सीधे शब्दों में कहें, यह वस्तुतः एक संख्या प्रणाली है जो केवल दो अद्वितीय अंकों का उपयोग करके संख्याओं का प्रतिनिधित्व करती है – आमतौर पर, 0 और 1. नंबरिंग सिस्टम को बेस -2 नंबर सिस्टम के रूप में भी जाना जाता है। कंप्यूटर इस नंबरिंग सिस्टम का उपयोग अपने डेटा को स्टोर और हेरफेर करने के लिए करते हैं जिसमें नंबर, शब्द, संगीत, ग्राफिक्स और बहुत कुछ शामिल हैं। वास्तव में, ‘बिट’ शब्द, जो डिजिटल तकनीक की सबसे छोटी संभव इकाई है, वास्तव में ‘बाइनरी डिजिट’ शब्द से उपजा है। आज, प्रोग्रामर इन बाइनरी नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए हेक्साडेसिमल या बेस -16 नंबर सिस्टम को अधिक कॉम्पैक्ट तरीके के रूप में उपयोग करते हैं। क्यों? क्योंकि कंप्यूटर के लिए बाइनरी और हेक्साडेसिमल और इसके विपरीत से कनवर्ट करना आसान है, और आमतौर पर उपयोग की जाने वाली दशमलव संख्या प्रणाली के साथ ऐसा करना काफी कठिन है।

 

 


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आधुनिक बाइनरी नंबर सिस्टम की खोज सबसे पहले यूरोप में १६वीं और १७वीं शताब्दी में गॉटफ्रीड लाइबनिज और कुछ अन्य गणितज्ञों ने की थी। हालांकि, बाइनरी सिस्टम के समान सिस्टम विभिन्न संस्कृतियों और सभ्यताओं की पुरातनता में दिखाई दिए। आई चिंग को क्लासिक ऑफ चेंजेस या बुक ऑफ चेंजेस भी कहा जाता है, जो सबसे पुराने चीनी ग्रंथों में से एक है, जो 9वीं शताब्दी ईसा पूर्व के सभी तरह से है। इस पाठ में, यिन-यांग की अवधारणा दुनिया में बलों के बीच परस्पर संबंध का वर्णन करती है। आई चिंग में, यिन-यांग को ट्रिग्राम का उपयोग करके दर्शाया जाता है और बाद में पाठ के प्रतिपादन हेक्साग्राम का उपयोग करते हैं। यह बाइनरी नोटेशन के पहले संस्करणों में से एक है, जो उस समय, यिन और यांग के द्वंद्व के आधार पर चतुर्धातुक अटकल तकनीक की व्याख्या करने के लिए इस्तेमाल किया गया था। बाद में, सांग राजवंश के विद्वान, शाओ यंग ने हेक्साग्राम को इस तरह के प्रारूप में बदल दिया, जो आधुनिक समय के बाइनरी नंबरों के समान था।

 

 

 

चीन में इन विकासों से पहले भी, मिस्र में पाए जाने वाले प्राचीन शास्त्रियों ने होरस-आई फ्रैक्शंस के रूप में जानी जाने वाली किसी चीज़ का इस्तेमाल किया था, जो मिस्रियों द्वारा भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली दो विधियों में से एक थी। होरस-आई फ्रैक्शंस वास्तव में एक बाइनरी नंबरिंग सिस्टम है जिसका उपयोग उस समय अनाज, तरल पदार्थ और अन्य उपायों की आंशिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता था। यह प्रणाली 2400 ईसा पूर्व में मिस्र के पांचवें राजवंश के दस्तावेजों में पाई जा सकती है, जबकि अधिक विकसित चित्रलिपि रूप 1200 ईसा पूर्व में मिस्र के उन्नीसवें राजवंश के हैं।

 

 

 

छंदशास्त्र के लेखक भारतीय विद्वान पिंगला को दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में द्विआधारी प्रणाली के शुरुआती आविष्कारकों में से एक माना जाता था। शोधकर्ताओं के अनुसार, उनके काम ने प्रोसोडी (कविता में एक कविता की मूल लयबद्ध संरचना) का वर्णन करते हुए छोटे और लंबे सिलेबल्स के निश्चित पैटर्न का उपयोग करते हुए द्विआधारी अंक प्रणाली का वर्णन किया। यह भी मोर्स कोड की तरह ही है। छोटे अक्षरों को लघु(0) कहा जाता था जबकि लंबे अक्षरों को गुरु(1) कहा जाता था। पिंगला की प्रणाली आधुनिक-दिन की बाइनरी प्रणाली के समान थी क्योंकि यह एक से शुरू हुई थी जिसमें चार छोटे लघु थे जो 1 का प्रतिनिधित्व करते थे और इसी तरह। संख्यात्मक मान केवल सभी स्थानीय मानों के योग में एक जोड़ देता है। आधुनिक समय की द्विआधारी प्रणाली और पिंगला के आविष्कार के बीच का अंतर यह है कि बाद की प्रणाली शून्य के बजाय एक से शुरू होती है, और द्विआधारी प्रतिनिधित्व दाईं ओर बढ़ता है, न कि आधुनिक प्रतिपादन की तरह।

 

 

6. यूक्लिड एलिमेंट्स

 

 

 

गणितीय उपलब्धियों की कोई सूची ग्रीक पुरातनता से निकलने वाले सबसे मौलिक और प्रभावशाली गणितीय कार्यों को शामिल किए बिना पूरी नहीं होगी। 300 ईसा पूर्व के आसपास लिखे गए, यूक्लिड के काम ने सिद्धांतों का एक सेट पेश करके और स्वाभाविक रूप से अनुसरण किए जाने वाले प्रमेयों के एक संग्रह को गणितीय कठोरता से प्रदर्शित करने के लिए आगे बढ़ते हुए आधुनिक गणित की नींव का निर्माण किया। बीजगणित से लेकर समतल ज्यामिति (जिसे अब यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में भी जाना जाता है) तक के विषयों को शामिल करना, इसके निर्माण के बाद 2,000 से अधिक वर्षों तक एलिमेंट्स गणितीय शिक्षण की आधारशिला बने रहे। एलिमेंट्स ने दोस्तोवस्की से लेकर आइंस्टीन तक के महान दिमागों की सोच को प्रभावित किया, और अब्राहम लिंकन ने अपने गेटिसबर्ग पते में “प्रस्ताव के लिए समर्पित” वाक्यांश को शामिल करने का श्रेय अक्सर यूक्लिड के उनके रीडिंग को दिया जाता है।

 

 


Greatest Discoveries in Mathematics

 

 

यूक्लिड के “एलिमेंट्स” के तेरह खंडों में 465 सूत्र और प्रमाण हैं, जिनका वर्णन केवल एक कम्पास और सीधे किनारे का उपयोग करके एक स्पष्ट, तार्किक शैली में किया गया है, इसमें शंकु, पिरामिड और सिलेंडर जैसे ठोस पदार्थों की मात्रा की गणना के लिए सूत्र शामिल हैं। पुस्तकें पूर्ण संख्या और अभाज्य संख्याओं पर चर्चा करती हैं; पाइथागोरस के प्रमेय का प्रमाण और सामान्यीकरण, यूक्लिड ने साबित किया कि नियमित पेंटागन के विकर्ण एक दूसरे को “चरम और औसत अनुपात” में काटते हैं, जिसे अब आमतौर पर सुनहरा अनुपात या सुनहरा खंड के रूप में जाना जाता है।

 

 

 

यूक्लिडियन ज्यामिति आज भी उतनी ही मान्य है जितनी 2,300 साल पहले थी, यह कला, वास्तुकला, विज्ञान और इंजीनियरिंग सहित कई विषयों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है, लेकिन कुछ ही नामों के लिए।

 

 

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