कंप्यूटर में प्रयुक्त संख्या प्रणाली

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कंप्यूटर इंसानों से अलग तरह से संख्याओं की व्याख्या करते हैं इसलिए पूरी तरह से एक अलग संख्या प्रणाली की आवश्यकता होती है। जब भी हम किसी डिवाइस पर कुछ टाइप करते हैं, तो वे अक्षर कुछ संख्याओं में परिवर्तित हो जाते हैं जिन्हें केवल कंप्यूटर ही समझ सकता है।

चूंकि कंप्यूटर स्विच ऑन (1) और स्विच ऑफ (0) की भाषा समझते हैं, बाइनरी नंबर सिस्टम कंप्यूटर में सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला नंबर सिस्टम है। कंप्यूटर में उपयोग की जाने वाली अन्य संख्या प्रणाली ऑक्टल नंबर सिस्टम और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम हैं।

सामान्य रूप से प्रयुक्त संख्या प्रणाली

सीधे शब्दों में कहें, एक संख्या प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। हम बेस-10 संख्या प्रणाली का उपयोग करने के आदी हैं, जिसे दशमलव भी कहा जाता है। अन्य सामान्य संख्या प्रणालियों में बेस -2 (बाइनरी), बेस -8 (ऑक्टल), और बेस -16 (हेक्साडेसिमल) शामिल हैं।

किसी संख्या प्रणाली के आधार (बेस) या मूलांक (रेडिक्स) का क्या अर्थ है?

रेडिक्स एक शब्द है जिसका उपयोग अगले अंक के स्थान पर “रोलिंग ओवर” करने से पहले एक स्थितीय संख्या प्रणाली में उपयोग किए गए अंकों की संख्या का वर्णन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, आधार 10 संख्या प्रणाली में, कुल 10 अंकों का उपयोग किया जाता है (शून्य से नौ), इसलिए, इसका मूलांक 10 है। आधार 2 संख्या प्रणाली में, दो संख्याओं का उपयोग किया जाता है (शून्य और एक), इसलिए इसका मूलांक दो है। मूलांक के पर्यायवाची अन्य शब्द अंकगणितीय अर्थ में आधार और मूल हैं।

बेस 10 या दशमलव संख्याओं का अवलोकन

^{दशमलव संख्या प्रणाली जिसे हिंदू-अरबी या अरबी संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है, वह संख्या प्रणाली है जिसका हम हर दिन उपयोग करते हैं और 0 – 9 यानी 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9 के अंकों का उपयोग करते हैं। दशमलव संख्या प्रणाली की आधार संख्या 10 है क्योंकि इस संख्या प्रणाली में उपलब्ध कुल संख्या 10 है। यदि किसी संख्या को आधार के बिना दर्शाया गया है, तो इसका मतलब है कि इसका आधार 10 है। उदाहरण के लिए: (564)}₁₀^{, (279) )}₁₀ ^{आमतौर पर 564 और 279 के रूप में लिखा जाता है।}

1. बाइनरी नंबर सिस्टम क्या है?

^{बाइनरी में “Bi” का अर्थ “दो” है। बाइनरी नंबर सिस्टम केवल 0 और 1 के संदर्भ में एक संख्या का प्रतिनिधित्व है। हम किसी भी संख्या को बाइनरी नंबर सिस्टम के रूप में आसानी से दशमलव प्रणाली में व्यक्त कर सकते हैं। दशमलव संख्या और बाइनरी नंबर अलग-अलग नोटेशन हैं। चूंकि, एक बाइनरी नंबर सिस्टम केवल दो प्रतीकों या अंकों का उपयोग करता है, बाइनरी नंबर सिस्टम का आधार या रेडिक्स 2 है। उदाहरण के लिए, दशमलव नोटेशन में 2 को (2)}₁₀ ^{के रूप में दर्शाया गया है। 2 के लिए बाइनरी नंबर है (10)}₂ ^{के रूप में दर्शाया गया है। इसलिए, 10 संख्या 2 के लिए द्विआधारी (बाइनरी) संख्या का प्रतिनिधित्व है।}

1.1 हम बाइनरी का उपयोग करके कैसे गिनते हैं?

बाइनरी में गिनती करने के लिए, आप 0 से शुरू करते हैं, फिर आप 1 पर जाते हैं। फिर आप एक और अंक जोड़ते हैं, जैसे आप दशमलव गणना में करते हैं जब आप 9 से 10 तक जाते हैं। आप एक और अंक जोड़ते हैं, इसलिए अब आपके पास दो अंक हैं। तो, बाइनरी में, आप 1 से 10 तक जाते हैं क्योंकि 1 आपकी आखिरी गिनती संख्या है। दशमलव संख्याओं में, आप 9 से 10 तक जाते हैं, क्योंकि 9 आपकी अंतिम संख्या है जिसे आप गिनते समय उपयोग कर सकते हैं। हर बार जब आप अंतिम गिनती संख्या तक पहुँचते हैं, तो आप अपनी संख्या में एक और अंक जोड़ते हैं।

तो, बाइनरी में गिनती, आप इस तरह गिनते हैं:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000. …

1. 2 कंप्यूटर में बाइनरी नंबर का उपयोग क्यों किया जाता है?

बाइनरी सिस्टम का लाभ इसकी सादगी है। एक कंप्यूटिंग डिवाइस किसी भी चीज़ से बनाया जा सकता है जिसमें स्विच की एक श्रृंखला होती है, जिनमें से प्रत्येक “चालू” स्थिति और “बंद” स्थिति के बीच हो सकता है। ये स्विच इलेक्ट्रॉनिक, जैविक या यांत्रिक हो सकते हैं, जब तक कि उन्हें एक स्थान से दूसरे स्थान पर कमांड पर ले जाया जा सकता है। अधिकांश कंप्यूटरों में इलेक्ट्रॉनिक स्विच होते हैं।

जब कोई स्विच “चालू” होता है तो यह एक के मान का प्रतिनिधित्व करता है, और जब स्विच “बंद” होता है तो यह शून्य के मान का प्रतिनिधित्व करता है। डिजिटल डिवाइस बाइनरी स्विच को चालू और बंद करके गणितीय संचालन करते हैं। कंप्यूटर जितनी तेजी से स्विच को चालू और बंद कर सकता है, उतनी ही तेजी से वह अपनी गणना कर सकता है।

1.3 रूपांतरण – बाइनरी से दशमलव और उसके विपरीत

चूंकि, बाइनरी नंबर सिस्टम का आधार या रेडिक्स 2 है, इसलिए यह दशमलव संख्या को बाइनरी नंबर और इसके विपरीत में बदलने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

रूपांतरण प्रक्रिया करने के लिए हमें इसके पीछे के गणित को समझना होगा। यहां सबसे महत्वपूर्ण बात 2 की पॉवर्स से अवगत होना है।

2⁰ = 1; 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16; 2⁵ = 32; 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, ….

यदि आप 2 की पहली पॉवर्स में से कुछ को याद करते हैं, तो आप इन रूपांतरणों को शीघ्रता से करने में सक्षम होंगे।

1.3.1 दशमलव से बाइनरी रूपांतरण

आइए दशमलव से बाइनरी रूपांतरण को देखें। एक दशमलव संख्या को उसके बाइनरी समकक्ष में बदलने के लिए, इसे 2 से विभाजित किया जाता है और इसके शेष को नोट किया जाता है। प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि संख्या घटकर 0 न हो जाए। नीचे से ऊपर तक सभी शेष को एकत्रित करके एक द्विआधारी संख्या बनाई जाती है।

दशमलव संख्या 146 का उदाहरण लें

इसलिए, (146)₁₀ = (10010010)₂

दशमलव संख्या 98 के एक और उदाहरण को लें

इसलिए, (98)₁₀ = (01100010)₂

अब, आइए एक बाइनरी संख्या को दशमलव संख्या में बदलने का एक तेज़ तरीका देखें।

पहला स्टेप 2 की पॉवर्स की टेबल लिखना है, जैसा कि दिखाया गया है, दाएं से बाएं शुरू शुरू करते हुए

128 64 32 16 8 4 2 1

ये 8 संख्याएं हैं जिनका उपयोग हम 8-बिट बाइनरी नंबरों में बदलने के लिए कर सकते हैं।

आइए देखें कि दशमलव संख्या 146 को उसके बाइनरी समकक्ष में कैसे परिवर्तित किया जाए।

अब, हम दी गई संख्या को टेबल में संख्याओं के रूप में विभाजित करते हैं

146 128, 1 बार में जाता है।

146 = 128 × 1 + 18

अब, 18 पर चलते हैं

18 = 16 × 1 + 2

तो, हमें मिलता है 146 = 128 + 16 + 2

और टेबल बन जाती है, कुछ इस प्रकार

128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 0 0 1 0

148 = (10010010)₂

आइए एक और उदाहरण लेते हैं, मान लीजिए संख्या है – 98

98 = 64 × 1 + 34

34 = 32 × 1 + 2

जो 98 = 64 + 32 + 2 देता है और टेबल बन जाती है, कुछ ऐसी

128 64 32 16 8 4 2 1

0 1 1 0 0 0 1 0
98 = (01100010)₂

1.3.2 बाइनरी से दशमलव रूपांतरण

एक बाइनरी नंबर को उसके समकक्ष में बदलने के लिए, इसे 2 की पॉवर्स में दाएं से बाएं, जो 0 से शुरू हो कर एक-एक करके आगे बढ़ती हैं में विस्तारित किया जाता हैं।

आइए ऊपर दिए गए उदाहरण में प्राप्त बाइनरी संख्या को ही लेते हैं – (01100010)₂

01100010 = 0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 0 × 2² + 0 × 2³ + 0 × 2⁴ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁶ + 0 × 2⁷

= 0 × 1 + 1 × 2 + 0 × 4 + 0 × 8 + 0 × 16 + 1 × 32 + 1 × 64 + 0 × 128

= 0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 32 + 64 + 0

= 98

और हमें मिलता है (01100010)₂ = (98)₁₀

इसी तरह, हम 10010010 को दशमलव में बदल सकते हैं

10010010 = 0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 0 × 2² + 0 × 2³ + 1 × 2⁴ + 0 × 2⁵ + 0 × 2⁶ + 1 × 2⁷

= 0 × 1 + 1 × 2 + 0 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16 + 0 × 32 + 0 × 64 + 1 × 128

= 0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 0 + 0 + 128

= 146

इसलिए, (10010010)₂ = (146)₁₀

अब, आइए एक बाइनरी संख्या को दशमलव संख्या में बदलने का एक तेज़ तरीका देखें। फिर से वही टेबल याद करें

दिखाए गए अनुसार दाएं से बाएं शुरू करते हुए 2 की पॉवर्स वाली टेबल लिखें

128 64 32 16 8 4 2 1

^{आइए देखें कि (11000101)}₂ ^{को दशमलव समतुल्य में कैसे बदला जाता है। टेबल की संख्याओं के अंतर्गत बाइनरी संख्या (बिट्स) के अलग-अलग अंक लिखें}

128 64 32 16 8 4 2 1

1 1 0 0 0 1 0 1

अब, बस बाइनरी में 1 से संबंधित संख्याओं को जोड़ें

128 + 64 + 4 + 1 = 197

इसलिए, (11000101)₂ = (197)₁₀

आइए एक और उदाहरण को लें – (10011101)₂

टेबल्स में संख्याओं को फिर से इस प्रकार लिखें

128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 1 1 0 1

अब, बाइनरी में 1 से संबंधित संख्याओं को जोड़ें

128 + 16 + 8 + 4 + 1 = 157

तो, (10011101)₂ = (157)₁₀

1.4 बाइनरी अंकगणित

बाइनरी अंकगणित का उपयोग मुख्य रूप से डिजिटल सिस्टम में किया जाता है क्योंकि अधिकांश कंप्यूटर सिस्टम में संख्याएं (दशमलव और फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर) बाइनरी प्रारूप में संग्रहीत होती हैं। सभी अंकगणितीय संचालन जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग संख्याओं के बाइनरी में किए जाते हैं। इसलिए, कम से कम दो बुनियादी बाइनरी अंकगणितीय संचालन – जोड़ और घटाव को समझना आवश्यक है।

1.4. 1 बाइनरी अंकगणित – जोड़

कुछ प्रॉब्लेम्स को हल करने से पहले, हम आपको कुछ नियम दिखाने जा रहे हैं जिनका पालन करके हम वास्तव में बहुत आसान तरीके से इन्हें हल कर सकेंगे।

नियम का पहला महत्वपूर्ण हिस्सा इस टेबल का पालन करना है।

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10 (एक शून्य के रूप में पढ़ें, न कि दस) यहां 1 को आगे बढ़ाया गया है। (कैरी फॉरवर्ड)

पालन ​​करने के लिए अन्य सरल नियम हैं:

• प्रक्रिया को सरल रखने के लिए हमेशा एक बार में दो अंक जोड़ें
• एक समय में एक कॉलम पर काम करें

अब, एक उदाहरण लेते हैं और बाइनरी नंबर जोड़ने के लिए इन नियमों का उपयोग करते हैं।

⁽¹⁰¹⁰⁾₂ ^{जो 10 है और (101)}₂ ^{जो 5 है}

^{परन्तु थोड़ा ध्यान दें, किन्हीं दो संख्याओं को जोड़ने से पहले, सुनिश्चित करें कि उनमें अंकों की संख्या समान है। तो, हम लिखेंगे (101)}₂ ^{= (0101)}₂

किसी संख्या के बाईं ओर कितने भी शून्य जोड़ने से उसका मान नहीं बदलता है।

पहला स्टैप: संख्याओं को कॉलम में लिखें

अगला स्टैप: टेबल को याद करें और टेबल के नियमों का पालन करें

(1111)₂ = 15 और 10 + 5 = 15 भी

अब, तीन बाइनरी संख्याएँ जोड़ते हैं

(1101)₂ = 13; (110)₂ = 6 and (1011)₂ = 11

⁽¹¹⁰⁾₂ ^{को (0110)}₂ ^{रूप में लिखा जाएगा}

अब, तीनों संख्याओं में अंकों की संख्या समान है।

^{आइए पहले (1101)}₂ ^{और (110)}₂^{को जोड़ें  (आप पहले कोई भी दो संख्याएँ ले सकते हैं, यह अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा।}

जोड़ के अस्सोसिएटिव प्रॉपर्टी को याद करें। इस मामले में भी, यह ठीक काम करता है।

अब, अगले स्टैप्स का पालन करें

⁽¹¹⁰¹⁾₂ ^{+ (110)}₂ ^{= (10011)}₂ ^{= 30 और यहां भी 13 + 6 + 11 = 30}

अब शेष संख्या को अभी प्राप्त परिणाम में जोड़ें।

तो, (1101)₂ + (110)₂ + (1011)₂ = (11110)₂ = 30 दशमलव में

1.4. 2 बाइनरी अंकगणित – घटाव

कुछ प्रॉब्लेम्स को हल करने से पहले, हम आपको कुछ नियम दिखाने जा रहे हैं जिनका पालन करके हम इसे वास्तव में बहुत आसान बना सकते हैं।

नियम का पहला महत्वपूर्ण हिस्सा टेबल का पालन करना है।

0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0; 1 – 0 = 1; 0 – 1 = 1 (यहाँ 1 बोर्रो किया गया है)

पालन ​​करने के लिए अन्य सरल नियम हैं:

• प्रक्रिया को सरल रखने के लिए हमेशा एक बार में दो अंक जोड़ें
• एक समय में एक कॉलम पर काम करें

अब, एक उदाहरण लेते हैं और इन नियमों का उपयोग बाइनरी संख्याओं को घटाने के लिए करते हैं।

⁽¹¹⁰¹⁾₂ ^{जो 13 है और (100)}₂ ^{जो 4 है}

^{अंकों की संख्या समान बनाने के लिए (100)}₂ ^{को (0100)}₂ ^{के रूप में लिखें।}

पहला स्टैप: संख्याओं को कॉलम में लिखें

अगला स्टैप: टेबल को याद करें और टेबल के नियमों का पालन करें

तो, (1101)₂ – (100)₂ = (1001)₂ = 9 और 13 – 4 = 9

1.5 भिन्नात्मक (फ्रैक्शनल) संख्याओं का बाइनरी में रूपांतरण

भिन्नात्मक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें एक पूर्ण भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। भिन्नात्मक भाग या तो अंश और हर के रूप में लिखा जाता है या दशमलव बिंदु (.) द्वारा पूरे भाग से अलग किया जाता है।

उदाहरण के लिए 137.45 एक भिन्नात्मक संख्या है जिसे (137 9/20) के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ 137 एक पूर्ण (अभिन्न) भाग है और 9/20 एक भिन्नात्मक भाग है।

अब, रूपांतरण प्रक्रिया करने के लिए हमें इसके पीछे के गणित को समझना होगा। यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि 2 की सकारात्मक (पॉजिटिव) पॉवर्स से अवगत रहें

2⁰ = 1; 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16; 2⁵ = 32; 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, ….

इसी प्रकार 2 की नकारात्मक (नेगेटिव) पॉवर्स: 2^-1 = 1/2; 2^-2 = 1/4; 2^-3 = 1/8; 2^-4 = 1/16; 2^-5 = 1/32; 2^-6 = 1/64, 2^-7 = 1/128, 2^-8 = 1/256, ….

1.5. 1 भिन्नात्मक दशमलव से बाइनरी संख्या

एक भिन्नात्मक दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए, एक संख्या को 2 से गुणा किया जाता है और उसके अभिन्न भाग को नोट किया जाता है और भिन्नात्मक भाग को फिर से 2 से गुणा किया जाता है। प्रक्रिया को भिन्नात्मक भाग 0 होने तक दोहराया जाता है। उसके बाद सभी अभिन्न भागों को नीचे से ऊपर तक एकत्र किया जाता है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए 0.125 के उदाहरण को लें

0.125 × 2 = 0.250 (अभिन्न भाग अर्थात 0 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.25 × 2 = 0.50 (अभिन्न भाग अर्थात 0 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.50 × 2 = 1.0 (अभिन्न भाग अर्थात 1 को बाहर निकालें और रुकें क्योंकि भिन्नात्मक भाग 0 हो गया है)

तो, (0.125)₁₀ = (0.100)₂ (नीचे से ऊपर तक अभिन्न अंगों को इकट्ठा करें)

अब, भिन्नात्मक भाग को परिवर्तित करते हैं, अर्थात्, 0.234

0.234 × 2 = 0.468 (अभिन्न भाग अर्थात 0 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.468 × 2 = 0.936 (अभिन्न भाग अर्थात 0 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.936 × 2 = 1.872 (अभिन्न भाग अर्थात 1 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.872 × 2 = 1.744 (अभिन्न भाग अर्थात 1 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.744 × 2 = 1.488 (अभिन्न भाग अर्थात 1 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.488 × 2 = 0.976 (अभिन्न भाग अर्थात 0 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

0.976 × 2 = 1.952 (अभिन्न भाग अर्थात 1 को निकाल कर शेष भाग को गुणा करें)

आप देख सकते हैं कि हमें भिन्नात्मक मान के रूप में 0 नहीं मिल रहा है। कारण है – यह एक असांत (नॉन-टर्मिनटिंग) दशमलव संख्या है। ऐसे में कुछ स्टैप्स के बाद रुक जाएं। यह आपको एक अनुमानित मूल्य देगा। अधिक स्टैप्स, अधिक सटीक मान।

तो, (0.234)₁₀ = (0.0011101)₂

यदि हमारे पास एक मिश्रित संख्या है, अर्थात्, एक संख्या जिसमें अभिन्न और भिन्नात्मक दोनों भाग होते हैं, तो अभिन्न भाग और भिन्नात्मक भाग अलग-अलग परिवर्तित होते हैं और अंत में दोनों परिणाम एक साथ लिखे जाते हैं।

उदाहरण के लिए 98.234 को इसके बाइनरी समकक्ष में परिवर्तित करना। यहाँ अभिन्न भाग 98 और भिन्नात्मक भाग 0.234 है।

(98)₁₀ = (01100010)₂

और (0.234)₁₀ = (0.0011101)₂

अतः, (98.234)₁₀ = (01100010.0011101)₂

1.5.2 भिन्नात्मक बाइनरी से दशमलव रूपांतरण

एक भिन्नात्मक बाइनरी को उसके दशमलव समकक्ष में बदलने के लिए, प्रक्रिया वही है जो बाइनरी को उसके दशमलव समकक्ष में बदलने के लिए उपयोग की जाती है, यानी, 2 की पॉवर्स में विस्तार करें।

लेकिन, इस मामले में विस्तार बाएं से दाएं शुरू होता है और पॉवर्स नकारात्मक (नेगेटिव) संख्याएं होती हैं जो -1 से शुरू होती हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 0.100 को इसके दशमलव समकक्ष में बदलें।

0.100 = 1 × 2^-1 + 0 × 2^-2 + 0 × 2^-3

= 1 × ½ + 0 × ¼ + 0 × ⅛

= ½ = 0.5

अतः, (0.100)₂ = (0.5)₁₀

^{आइए (0.0011101)}₂ ^{का एक और उदाहरण लें} 

0.0011101 = 0 × 2^-1 + 0 × 2^-2 + 1 × 2^-3 + 1 × 2^-4 + 1 × 2^-5 + 0 × 2^-6 + 1 × 2^-7

= 0 × ½ + 0 × ¼ + 1 × ⅛ + 1 × 1/16 + 1 × 1/32 + 0 × 1/64 + 1 × 1/128

= 0 + 0 + ⅛ + 1/16 + 1/32 + 0 + 1/128

= 29/128 = 0.2265625

तो, (0.0011101)₂ = (0.2265625)₁₀

आइए एक और उदाहरण लें – (01001110.0011)₂

संख्याओं को टेबल में इस प्रकार लिखिए

128 64 32 16 8 4 2 1 ½ ¼ ⅛ 1/16

0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1

अब, बाइनरी में 1 से संबंधित संख्याओं को जोड़ें

64 + 8 + 4 + 2 + ⅛ + 1/16 = 78 + 0.1875
तो, (10011101)₂ = (78.1875)₁₀

1.6 बाइनरी में नकारात्मक संख्याओं को कैसे रिप्रेजेंट किया जाता है?

बाइनरी नंबर रिप्रेजेंटेशन सिस्टम में साइन बिट या साइन फ्लैग नामक एक अतिरिक्त बिट या फ्लैग की मदद से नेगेटिव नंबरों को पहचाना जा सकता है। बाइनरी नंबर के सामने माइनस या प्लस सिंबल जोड़ना संभव नहीं है क्योंकि बाइनरी नंबर में प्रत्येक पोजीशन या बिट के लिए केवल दो सिंबल या तो 0 या 1 हो सकते हैं।

इसलिए हम साइन बिट या साइन फ्लैग नामक इस अतिरिक्त बिट का उपयोग करते हैं। साइन बिट का मान ऋणात्मक बाइनरी संख्याओं के लिए 1 और धनात्मक संख्याओं के लिए 0 है।

जब एक पूर्णांक बाइनरी संख्या धनात्मक होती है, तो चिह्न 0 और परिमाण को धनात्मक बाइनरी संख्या द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बाइनरी संख्या को उसके 2 के पूरक का उपयोग करके उसकी संगत ऋणात्मक संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है। एक बाइनरी संख्या का 2 का पूरक इसके 1 के पूरक में 1 जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

1.6.1 बाइनरी संख्या का 1’s कॉम्प्लीमेंट क्या है?

किसी संख्या में 0s को 1s और 1s को 0s से प्रतिस्थापित करने पर बाइनरी संख्या का 1’s कॉम्प्लीमेंट प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, 10110010 का 1’s कॉम्प्लीमेंट 01001101 है

इसी तरह, 01001110 का 1’s कॉम्प्लीमेंट 10110001 है

1.6.2 बाइनरी संख्या का 2’s कॉम्प्लीमेंट क्या है?

एक बाइनरी संख्या का 2’s कॉम्प्लीमेंट इसके 1’स कॉम्प्लीमेंट में 1 जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

(बाइनरी संख्या का 2’s कॉम्प्लीमेंट) = (बाइनरी संख्या का 1’s कॉम्प्लीमेंट) + 1

उदाहरण के लिए, हमें 10110010 का 2’s कॉम्प्लीमेंट ज्ञात करना है

10110010 का 2’s कॉम्प्लीमेंट = (10110010 का 1’s कॉम्प्लीमेंट) + 1

= 10110001 + 1 = 10110011

इसी तरह, 01001110 का 2’s कॉम्प्लीमेंट = (01001110 का 1’s कॉम्प्लीमेंट) + 1

1.6. 3 2’s कॉम्प्लीमेंट विधि का उपयोग करके एक बाइनरी नंबर का ऋणात्मक (नेगेटिव) ज्ञात करना

आइए देखें कि बाइनरी में संख्या -236 को कैसे दर्शाया जा सकता है।

236 बाइनरी में 8-बिट कोड का उपयोग करके (11101100)₂ होता है।

11101100 का 1’s कॉम्प्लीमेंट 00010011 है।

11101100 का 2’s कॉम्प्लीमेंट 00010011 + 1 = 00010100 है।

अतः, (-236)₁₀ = (100010100)₂

ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्या में 9 बिट होते हैं। सबसे बाईं ओर अतिरिक्त 1 ऋणात्मक संख्या को इंगित करता है।

2. ऑक्टल नंबर सिस्टम क्या है?

ऑक्टा का अर्थ है “आठ”। ऑक्टल नंबर सिस्टम 0 से 7 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 7) के अंकों के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व है। हम दशमलव प्रणाली में किसी भी संख्या को ऑक्टल नंबर सिस्टम के रूप में आसानी से व्यक्त कर सकते हैं। चूंकि, एक ऑक्टल नंबर सिस्टम आठ प्रतीकों या अंकों का उपयोग करता है, ऑक्टल नंबर सिस्टम का आधार या मूलांक 8 है। उदाहरण के लिए, दशमलव संकेतन में 12 को (12)₁₀ के रूप में दर्शाया गया है। 12 के लिए ऑक्टल संख्या को (14)₈ के रूप में दर्शाया जाता है। इसलिए, संख्या 12 के लिए 14 ऑक्टल नंबर का प्रतिनिधित्व है।

2.1 हम ऑक्टल का उपयोग करके कैसे गिनते हैं?

ऑक्टल में गिनने के लिए, आप 0 से शुरू करते हैं, फिर आप 1 पर जाते हैं और फिर 2, 3, और इसी तरह 7 तक। 7 के बाद, जैसे आप दशमलव गिनती में करते हैं जब आप 9 से 10 तक जाते हैं, ऑक्टल में 7 के बाद, अगली संख्या 10 होती है। आप एक और अंक जोड़ते हैं, तो अब आपके पास दो अंक हैं। हर बार जब आप अंतिम गिनती संख्या तक पहुँचते हैं, तो आप अपनी संख्या में एक और अंक जोड़ते हैं।

तो, ऑक्टल में आप इस प्रकार गिनते हैं:

0 1 2 3 4 5 6 7

10 11 12 13 14 15 16 1720 21 22 23 24 25 26 27, and so on.

2.2 कंप्यूटर में ऑक्टल नंबर का उपयोग क्यों किया जाता है?

ऑक्टल नंबर उतने सामान्य नहीं हैं जितने पहले हुआ करते थे। हालाँकि, ऑक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब एक शब्द में बिट्स की संख्या 3 का गुणक होता है। इसका उपयोग UNIX सिस्टम पर फ़ाइल अनुमतियों का प्रतिनिधित्व करने और UTF8 नंबरों के प्रतिनिधित्व आदि के लिए एक शॉर्टहैंड के रूप में भी किया जाता है।

ऑक्टल संख्याओं का उपयोग करने का मुख्य लाभ यह है कि यह दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली की तुलना में कम अंकों का उपयोग करता है। इसलिए, इसमें कम संगणना और कम कम्प्यूटेशनल त्रुटियां होती हैं। यह बाइनरी में किसी भी अंक का प्रतिनिधित्व करने के लिए केवल 3 बिट्स का उपयोग करता है और ऑक्टल से बाइनरी और इसके विपरीत में कनवर्ट करना आसान है। ऑक्टल रूप में इनपुट और आउटपुट को संभालना आसान होता है।

ऑक्टल नंबर सिस्टम का प्रमुख नुकसान यह है कि कंप्यूटर ऑक्टल नंबर सिस्टम को सीधे नहीं समझते हैं, इसलिए हमें ऑक्टल से बाइनरी कनवर्टर की आवश्यकता होती है।

2.3 रूपांतरण – ऑक्टल से दशमलव और इसके विपरीत

चूंकि, बाइनरी नंबर सिस्टम का आधार या रेडिक्स 8 है, इसलिए यह दशमलव संख्या को ऑक्टल नंबर और इसके विपरीत में बदलने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

रूपांतरण प्रक्रिया करने के लिए हमें इसके पीछे के गणित को समझना होगा। यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि 8 की पॉवर्स के बारे में पता होना चाहिए।

8⁰ = 1; 8¹ = 8; 8² = 64; 8³ = 512; 8⁴ = 4096, ….

यदि आप 8 की पहली पॉवर्स में से कुछ को याद करते हैं, तो आप इन रूपांतरणों को शीघ्रता से करने में सक्षम होंगे।

2.3.1 दशमलव से ऑक्टल रूपांतरण

आइए दशमलव से ऑक्टल रूपांतरण को देखें। किसी दशमलव संख्या को उसके ऑक्टल तुल्यांक में बदलने के लिए उसे 8 से विभाजित किया जाता है और उसके शेषफल को नोट कर लिया जाता है। प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि संख्या घटकर 0 न हो जाए। नीचे से ऊपर तक सभी शेष को एकत्रित करके एक ऑक्टल संख्या बनाई जाती है।

दशमलव संख्या 1468 के उदाहरण को लेते हैं

तो, (1468)₁₀ = (02674)₈

दशमलव संख्या 2985 के एक और उदाहरण को लेते हैं

(98)₁₀ = (05651)₈

2.3.2 ऑक्टल से दशमलव रूपांतरण

एक ऑक्टल संख्या को उसके समतुल्य में बदलने के लिए, इसे 8 की पॉवर्स में दाएँ से बाएँ, 0 से शुरू करके और 1 से आगे बढ़ते हुए विस्तारित किया जाता है।

आइए ऊपर दिए गए उदाहरण में प्राप्त ऑक्टल संख्या को देखें – (02674)₈

02674 = 4 × 8⁰ + 7 × 8¹ + 6 × 8² + 2 × 8³ + 0 × 8⁴

= 4 × 1 + 7 × 8 + 6 × 64 + 2 × 512 + 0 × 4096

= 4 + 56 + 384 + 1024 + 0

= 1468
अतः, (02674)₈ = (1468)₁₀

3. हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम क्या है?

हेक्सा का अर्थ है “छः” और दशमलव का अर्थ है “10”। हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली दशमलव संख्या प्रणाली के 10 अंकों और 6 अंग्रेजी अक्षरों A, B, C, D, E और F से संख्याएं बनायी जाती हैं। यहां A – 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14 और F – 15। चूंकि एक हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली उपयोग करती है सोलह प्रतीकों या अंक, हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली का आधार या मूलांक 16 है। उदाहरण के लिए, दशमलव संकेतन में 165 को (165)₁₀ के रूप में दर्शाया गया है। 165 के लिए हेक्साडेसिमल संख्या को (A5)₁₆ के रूप में दर्शाया गया है। इसलिए, संख्या 165 के लिए A5 हेक्साडेसिमल संख्या का रिप्रजेंटेशन है।

3.1 हम हेक्साडेसिमल का उपयोग करके कैसे गणना करते हैं?

हेक्साडेसिमल में गिनने के लिए, आप 0 से शुरू करते हैं, फिर आप 1 पर जाते हैं और फिर 2, 3, और इसी तरह 9 तक। 9 के बाद, A, फिर B, और इसी तरह F तक जाते हैं। जैसे आप दशमलव गिनती में करते हैं 9 से 10 पर जाते हैं, F के बाद हेक्साडेसिमल में, अगली संख्या 10 होती है। आप एक और अंक जोड़ते हैं, इसलिए अब आपके पास दो अंक हैं। हर बार जब आप अंतिम गिनती संख्या तक पहुँचते हैं, तो आप अपनी संख्या में एक और अंक जोड़ते हैं।

तो, हेक्साडेसिमल में गिनती, आप इस तरह गिनते हैं:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20

3.2 कंप्यूटर में हेक्साडेसिमल संख्याएं कहाँ उपयोग की जाती हैं?

हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम अक्सर प्रोग्रामर द्वारा बाइनरी नंबर सिस्टम को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। चूँकि 16, 24 के बराबर है, संख्या 2 और 16 के बीच एक रैखिक संबंध होता है।

इसका मतलब है कि एक हेक्साडेसिमल अंक चार बाइनरी अंकों के बराबर है। कंप्यूटर बाइनरी नंबरिंग सिस्टम का उपयोग करते हैं जबकि मनुष्य बाइनरी को छोटा करने और समझने में आसान बनाने के लिए हेक्साडेसिमल नंबरिंग सिस्टम का उपयोग करते हैं।

हेक्साडेसिमल का उपयोग निम्नलिखित में किया जाता है:

• स्मृति में स्थानों को परिभाषित करने के लिए। हेक्साडेसिमल बाइनरी का उपयोग करते समय आठ अंकों की तुलना में प्रत्येक बाइट में दो हेक्साडेसिमल अंक होते हैं।
• वेब पेजों पर रंगों को परिभाषित करने के लिए। प्रत्येक प्राथमिक रंग – लाल, हरा और नीला दो हेक्साडेसिमल अंकों से रिप्रेजेंट किया जाता है। उपयोग किया जा रहा प्रारूप #RRGGBB है। RR का मतलब लाल, GG का मतलब हरा और BB का मतलब नीला है।
• मीडिया एक्सेस कंट्रोल (मैक) पतों का प्रतिनिधित्व करने के लिए। MAC एड्रेस में 12-अंकीय हेक्साडेसिमल संख्याएँ होती हैं। उपयोग किया जा रहा प्रारूप या तो MM:MM:MM:SS:SS:SS या MMMM-MMSS-SSSS है। मैक पते के पहले 6 अंक एडेप्टर निर्माता की आईडी का प्रतिनिधित्व करते हैं जबकि अंतिम 6 अंक एडेप्टर के सीरियल नंबर का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• एरर मैसेज प्रदर्शित करने के लिए। हेक्साडेसिमल का उपयोग एरर के मेमोरी की पोज़िशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यह प्रोग्रामर के लिए त्रुटियों को खोजने और ठीक करने में उपयोगी है।

हेक्साडेसिमल सिस्टम के लाभ

हेक्साडेसिमल सिस्टम का उपयोग करने के कुछ फायदे यहां दिए गए हैं:

• यह बहुत संक्षिप्त है और 16 के आधार का उपयोग करने का अर्थ है कि किसी दी गई संख्या को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले अंकों की संख्या आमतौर पर बाइनरी या दशमलव से कम होती है। यह आपको कम जगह का उपयोग करके अधिक जानकारी संग्रहीत करने की अनुमति देता है।
• हेक्साडेसिमल संख्याओं और बाइनरी के बीच कनवर्ट करना तेज़ और आसान है। हेक्साडेसिमल का उपयोग बड़ी बाइनरी संख्याओं को कुछ ही अंकों में लिखने के लिए किया जा सकता है।
• यह जीवन को आसान बनाता है क्योंकि यह द्विआधारी संख्याओं के समूहन की अनुमति देता है जिससे पढ़ना, लिखना और समझना आसान हो जाता है। यह अधिक मानव-अनुकूल है, क्योंकि मनुष्य को आसानी से समझने के लिए संख्याओं और चीजों को एक साथ समूहित करने के लिए उपयोग किया जाता है। साथ ही, कम अंकों में लिखने से त्रुटि होने की संभावना कम हो जाती है।

3.3 रूपांतरण – हेक्साडेसिमल से दशमलव और इसके विपरीत

चूंकि, हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली का आधार या मूलांक 16 है, इसलिए यह दशमलव संख्या को हेक्साडेसिमल संख्या और इसके विपरीत में बदलने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

रूपांतरण प्रक्रिया करने के लिए हमें इसके पीछे के गणित को समझना होगा। यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि 16 की पॉवर्स के बारे में पता होना चाहिए।

16⁰ = 1; 16¹ = 16; 16² = 256; 16³ = 4096; 16⁴ = 65536, ….

यदि आप 16 की पहली पॉवर्स में से कुछ को याद करते हैं, तो आप इन रूपांतरणों को जल्दी से करने में सक्षम होंगे।

3.3.1 दशमलव से हेक्साडेसिमल रूपांतरण

आइए दशमलव से हेक्साडेसिमल रूपांतरण को देखें। एक दशमलव संख्या को उसके हेक्साडेसिमल समकक्ष में बदलने के लिए, इसे 16 से विभाजित किया जाता है और इसके शेष को नोट किया जाता है। यदि शेष 10 है, तो इसे A से बदल दिया जाता है। इसी तरह शेष 11, 12, 13, 14 या 15 को B, C, D, E या F से बदल दिया जाता है। प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि संख्या घटकर 0 न हो जाए। हेक्साडेसिमल संख्या नीचे से ऊपर तक सभी शेष को एकत्रित करके बनाई जाती है।

दशमलव संख्या 4285 के उदाहरण को लेते हैं।

तो, (4285)₁₀ = (10BD)₁₆

दशमलव संख्या 12647 के एक और उदाहरण पर लेते हैं।

अतः, (12647)₁₀ = (03167)₁₆

3.3.2 हेक्साडेसिमल से दशमलव रूपांतरण

एक हेक्साडेसिमल संख्या को उसके समकक्ष में बदलने के लिए, इसे 16 की पॉवर्स में दाएं से बाएं, 0 से शुरू करते हुए और 1 से आगे बढ़ते हुए विस्तारित किया जाता है।

आइए हेक्साडेसिमल संख्या (341)₁₆ को लेते हैं।

341 = 1 × 16⁰ + 4 × 16¹ + 3 × 16²

= 1 × 1 + 4 × 16 + 3 × 256

= 833

अतः, (341)₁₆ = (833)₁₀

आइए एक और उदाहरण A5D9 को लेते हैं।

A5D9 = 9 × 16⁰ + D × 16¹ + 5 × 16² + A × 16³

= 9 × 1 + D × 16 + 5 × 256 + A × 4096

= 9 × 1 + 13 × 16 + 5 × 256 + 10 × 4096

= 42457

तो, (A5D9)₁₆ = (42457)₁₀

4. अन्य रूपांतरण

आइए इन संख्या प्रणालियों के बीच रूपांतरण को देखें।

4.1 बाइनरी से ऑक्टल और इसके विपरीत

एक बाइनरी संख्या को उसके ऑक्टल समकक्ष में बदलने के लिए निम्न टेबल को संदर्भ के रूप में लिया जाता है:

4.1.1 बाइनरी से ऑक्टल

एक बाइनरी संख्या को उसके ऑक्टल समतुल्य में बदलने के लिए, हम अंकों को 3 के समूह में समूहित करते हैं (क्योंकि, 2³ = 8) और उनके समतुल्य ऑक्टल कोड लिखते हैं।

उदाहरण के लिए, हम (11001111010)₂ को इसके ऑक्टल समकक्ष में बदलना चाहते हैं।

पहला स्टैप दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन – तीन संख्याओं का समूह बनाना है।

(011)(001)(111)(010) (किसी भी कमी के मामले में, बस बाईं ओर 0s की आवश्यक संख्या जोड़ें)।

अब, प्रत्येक समूह के लिए, इसके ऑक्टल समकक्ष (उपरोक्त तालिका को संदर्भ के रूप में लेते हुए) लिखें।

(011)(001)(111)(010) = 3172So, (11001111010)₂ = (3172)₈

4.1.2 ऑक्टल से बाइनरी

एक ऑक्टल संख्या को उसके बाइनरी समकक्ष में बदलने के लिए, उपरोक्त टेबल को फिर से एक संदर्भ के रूप में लें और प्रत्येक ऑक्टल अंक को उसके समकक्ष बाइनरी कोड से बदलें।

अष्टक संख्या 6042 को लेते हैं।

(6)₈ = (110)₂

(0)₈ = (000)₂

(4)₈ = (100)₂

(2)₈ = (010)₂

तो, (6042)₈ = (110000100010)₂

4.2 बाइनरी से हेक्साडेसिमलऔर इसके विपरीत

बाइनरी संख्या को उसके हेक्साडेसिमल समकक्ष में बदलने के लिए निम्न टेबल को संदर्भ के रूप में लिया जाता है:

4.2.1 बाइनरी से हेक्साडेसीमल

एक बाइनरी संख्या को उसके हेक्साडेसिमल समकक्ष में बदलने के लिए, हम अंकों को 4 (चूंकि, 2⁴ = 16) के समूह में समूहित करते हैं और उनके समकक्ष हेक्साडेसिमल कोड लिखते हैं।

उदाहरण के लिए, हम (10100011111001)₂ को इसके हेक्साडेसिमल समकक्ष में बदलना चाहते हैं।

पहला स्टैप दायें से शुरू करते हुए चार – चार संख्याओं का समूह बनाना है।

(0010)(1000)(1111)(1001) (किसी भी कमी के मामले में, बस बाईं ओर 0s की आवश्यक संख्या जोड़ें)।

अब, प्रत्येक समूह के लिए, इसके हेक्साडेसिमल समकक्ष (उपरोक्त टेबल को संदर्भ के रूप में लेते हुए) लिखें।

(0010)(1000)(1111)(1001) = 28F9

So, (10100011111001)₂ = (28F9)₁₆

4.2.2 हेक्साडेसिमल से बाइनरी

एक हेक्साडेसिमल संख्या को उसके बाइनरी समकक्ष में बदलने के लिए, उपरोक्त टेबल को फिर से एक संदर्भ के रूप में लें और प्रत्येक हेक्साडेसिमल अंक को उसके समकक्ष बाइनरी कोड से बदलें।

हेक्साडेसिमल संख्या 1A0D को लेते हैं।

(1)₁₆ = (0001)₂

(A)₁₆ = (1010)₂

(0)₁₆ = (0000)₂

(D)₁₆ = (1101)₂
तो, (1A0D)₈ = (000110100001101)₂ = (110100001101)₂

निष्कर्ष

संख्या प्रणाली कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का एक अनिवार्य हिस्सा है जो कंप्यूटर को कुछ ही सेकंड में सभी कार्यों को करने में सक्षम बनाता है। आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली तीन संख्या प्रणालियाँ, बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल कंप्यूटर और डिजिटल प्रौद्योगिकी के विभिन्न अनुप्रयोगों और क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।