अवास्तविक संख्याएँ क्या हैं? (परिभाषा और गुण)

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गणित में आपने विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल किया है। इन समीकरणों के समाधान प्राकृतिक संख्याएँ या पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, भिन्नात्मक या दशमलव संख्याएँ, परिमेय संख्याएँ या अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं। ये सभी मिलकर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं। परन्तु  कुछ समीकरण ऐसे होते हैं जिनके हल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में नहीं होते हैं। इन संख्याओं को अवास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

अवास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

एक अवास्तविक संख्या वह संख्या है जो एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है। जब एक अवास्तविक संख्या का वर्ग निकला जाता है, तो इसका परिणाम ऋणात्मक संख्या में होता है।

एक अवास्तविक संख्या में दो भाग होते हैं – एक वास्तविक भाग और एक अवास्तविक इकाई जिसे ‘$i$’ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $5i$ एक अवास्तविक संख्या है और $5i$ का वर्ग है, अर्थात, $\left(5i \right)^{2} = -25$।

इसी प्रकार, $\sqrt3i$ एक अवास्तविक संख्या है और $\left(\sqrt{3}i \right)^{2} = -3$।

अवास्तविक इकाई क्या है?

अवास्तविक संख्या $i = \sqrt{-1}$, अर्थात $-1$ का वर्गमूल। आमतौर पर अवास्तविक इकाई को “$i$” द्वारा निरूपित किया जाता है और (जिसे “आईओटा” भी कहा जाता है) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

अवास्तविक इकाई $i$ समीकरण $x^{2} + 1 = 0$ का हल है।

$x^{2} + 1 = 0$ को हल करने पर, हमें $x^{2} = -1 => x = \pm \sqrt{-1} => x = \pm i$ मिलता है।

हालांकि किसी भी संख्या के दो संभावित वर्गमूल होते हैं, एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को तब तक अलग नहीं किया जा सकता जब तक कि दोनों में से एक को अवास्तविक इकाई के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है, जिस बिंदु पर $+i$ और $-i$ को तब प्रतिष्ठित किया जा सकता है। चूंकि कोई भी विकल्प संभव है, $i$ को $-1$ के वर्गमूल के रूप में परिभाषित करने में कोई अस्पष्टता नहीं है।

अवास्तविक संख्या के नियम

अवास्तविक संख्या नियम $i$ की पॉवर्स से जुड़े हैं, जो इस प्रकार हैं

• $\left(i \right)^0 = 1$
• $\left(i \right)^1 = i$
• $\left(i \right)^2 = -1$
• $\left(i \right)^3 = \left(i \right)^2 \times i = –i$
• $\left(i \right)^4 =\left (i^{2} \right)^{2} = \left(-1 \right)^{2} = 1$
• $\left(i \right)^5 = \left(i \right)^4 \times i = 1 \times i = i$
• $\left(i \right)^6 = \left (i^{2} \right)^{3} = \left(-1 \right)^{3} = -1$
• $\left(i \right)^7 = \left(i \right)^6 \times i = -1 \times i = -i$

यदि आप देखते हैं कि संख्याओं का एक चक्र है $1$, $i$, $-1$, और $-i$ जो हर $4$ कदम के बाद दोहराता है। $k$ के किसी भी मूल्य के लिए इस चक्र को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

• $i^{4k} = 1$
• $i^{4k + 1} = i$
• $i^{4k + 2} = -1$
• $i^{4k + 3} = -i$

(जहां $k$ कोई पूर्णांक है)

इन नियमों का उपयोग करके, आप $i$ की पॉवर्स की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण

आइए $i$ की पॉवर्स के चक्र को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $i^{19}$ का मान ज्ञात कीजिए

$i^{19} = i^{4 \times4 + 3} = -i$

वैकल्पिक रूप से, $i^{19} = i^{18} \times i = \left(i^{2}\right)^9 \times i = \left(-1\right)^9 \times i = – 1 \times = -i$।

Ex 2: $i^{60}$ का मान ज्ञात कीजिए

$i^{60} = i^{4 \times 15} = 1$

वैकल्पिक रूप से, $i^{60} = \left(i^{2} \right)^{30} = \left(-1 \right)^{30} = 1$। 

Ex 3: $i^{53}$ का मान ज्ञात कीजिए

$i^{53} = i^{4 \times 13 + 1} = i$

वैकल्पिक रूप से, $i^{53} = i^{52} \times i = \left(i^{2} \right)^{26} \times i = \left(-1 \right)^{26} \times i = 1 \times i = i $। 

Ex 4: $i^{102}$ का मान ज्ञात कीजिए

$i^{102} = i^{4 \times 25 + 2} = -1$

वैकल्पिक रूप से, $i^{102} = \left(i^{2} \right)^{51} = \left(-1 \right)^{51} = -1$। 

अवास्तविक संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ

जैसा कि आप किसी भी वास्तविक संख्या के साथ चार अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं – जोड़, घटाव, गुणा और भाग उसी प्रकार आप इन संक्रियाओं को अवास्तविक संख्याओं के साथ भी कर सकते हैं।

अवास्तविक संख्याओं का जोड़ और घटाव

अवास्तविक संख्याओं का जोड़ और घटाव ठीक उसी प्रकार है जैसा आप बीजगणित में समान पदों को कैसे जोड़ते हैं। यदि $ai$ और $bi$ कोई दो अवास्तविक संख्याएँ हैं तो 

• $ai + bi = \left(a + b \right)i$
• $ai – bi = \left(a – b \right)i$

उदाहरण

आइए अवास्तविक संख्याओं के जोड़ और घटाव को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $2i$ और $7i$ को जोड़ें

$2i + 7i = \left(2 + 7 \right)i = 9i$

Ex 2: $6i$ और $-4i$ को जोड़ें

$6i + \left(-4i \right) = \left(6 + \left(-4 \right) \right)i = \left(6 – 4 \right)i = 2i$

Ex 3: $-9i$ और $-13i$ को जोड़ें

$-9i + \left(-13i \right) = -9i – 13i = \left(-9 – 13 \right)i = -\left(9 + 13 \right)i = -22i$

Ex 4: $5i$ को $17i$ से घटाएं

$17i – 5 i = \left(17 – 5 \right)i = 12i$

Ex 5: $21 i$ को $11i$ से घटाएं

$11 i – 21i = \left(11 – 21 \right)i = -10i$

Ex 6: $-2i$ को $7i$ से घटाएं

 $7i – \left(-2i \right)  = 7i + 2i = \left(7 + 2 \right)i = 9i$

Ex 7: $8i$ को $-15i$ से घटाएं

$-15i – 8i = \left(-15 – 8 \right)i = -\left(15 + 8 \right)i = -23i$

अवास्तविक संख्याओं का गुणन

आप अवास्तविक संख्याओं को वैसे ही गुणा कर सकते हैं जैसे आप बीजगणित के पदों को कैसे गुणा करते हैं। यहां, आपको घातांक $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ के नियम का उपयोग करना पड़ सकता है। इसके साथ ही आपको इस बात का भी ध्यान रखना होगा कि $i^{2} = -1$.

उदाहरण

आइए अवास्तविक संख्याओं के गुणन को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $5i$ और $8i$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए

$5i \times 8i = \left(5 \times 8 \right) \times \left(i \times i \right) = 40 \times i^{2} = 40 \times \left(-1 \right) = -40$.

Ex 2: $2i$ और $-7i$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए

$2i \times \left(-7i \right) = \left(2 \times \left(-7\right) \right) \times \left(i \times i \right) = -14 \times i^{2} = -14 \times \left(-1 \right) = 14$.

Ex 3: $-6i$ और $-11i$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए  

$-6i \times \left(-11i \right) = \left(-6 \times \left(-11 \right) \right) \times \left(i \times i \right) = 66 \times i^{2} = 66 \times \left(-1 \right) = -66$

अवास्तविक संख्याओं का भाग

अवास्तविक संख्याओं के भाग पर आगे बढ़ने से पहले, आइए पहले समझते हैं कि $i$ का व्युत्क्रम क्या है, अर्थात $\frac {1}{i}$।

अंश और हर को $i$ से गुणा करने पर।

 $\frac {1}{i} = \frac {1}{i} \times \frac {i}{i} = \frac {1 \times i}{i \times i} = \frac {i}{i^{2}} = \frac {i}{-1} = -i$.

नोट: $i$ का व्युत्क्रम, यानी $\frac {1}{i} = -i$।

अवास्तविक संख्याओं को भाग करते समय, आप घातांक $\frac {a^{m}}{a^{n}} = a^{m – n}$ के नियम का उपयोग करते हैं। भाग के बाद अवास्तविक संख्याओं के परिणाम में, $i$ हर में नहीं रखा जाता है। यदि आपको ऐसा मिलता है, तो ऊपर वर्णित नियम $\frac {1}{i} -i$ का प्रयोग करें।

उदाहरण

आइए अवास्तविक संख्याओं के भाग को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $6i$ को $3i$ से भाग दें

$6i \div 3i = \frac {6}{3} \times \frac {i}{i} = 2 \times 1 = 2$

Ex 2: $12i$ को $4$ से भाग दें 

$12i \div 4 = \frac {12i}{4} = \frac {12}{4} \times \frac {i}{i} = 3 \times i = 3i$

Ex 3: $15$ को $5i$ से भाग दें

$15 \div 5i = \frac {15}{5i} = \frac {15}{5} \times \frac {1}{i} = 3 \times \left(-i \right) = -3i$

निष्कर्ष

अवास्तविक संख्या एक संख्या है जो एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है और $ai$ द्वारा निरूपित की जाती है, जहां $a$ एक वास्तविक संख्या है और $i$ एक अवास्तविक इकाई है जिसका मूल्य $\sqrt{-1}$ है . काल्पनिक संख्याओं का उपयोग सम्मिश्र संख्याओं में किया जाता है और आप इन संख्याओं के साथ चार बुनियादी संक्रियाओं में से कोई भी कार्य कर सकते हैं। 

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. सही या गलत लिखें

• $i$ का मान $0$ है
• $i$ का मान $1$ है
• $i$ का मान $-1$ है 

2. निम्नलिखित का मूल्यांकन करें

• $i^{15}$
• $i^{27}$
• $i^{30}$
• $i^{44}$
• $i^{19} + i^{17}$
• $i^{28} + i^{53}$
• $i^{42} – i^{38}$
• $i^{57} – i^{98}$
• $i^{13} \times i^{18}$
• $i^{59} \times i^{43}$
• $i^{123} \div i^{87}$
• $i^{0} \div i^{23}$

3. निम्नलिखित को हल करें

• $7i + 9i$
• $28i + \left(-13i \right)$
• $12i \times 6i$
• $15i \times 7$
• $28i \div 4i$
• $52 \div 13i$

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