अभाज्य संख्याएँ (परिभाषा, उदाहरण और गुण)

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अभाज्य संख्याओं का अध्ययन हजारों वर्षों से किया जा रहा है। यूक्लिड के ‘एलिमेंट्स’, लगभग 300 ई.पू. में प्रकाशित हुए, अभाज्य संख्याओं के बारे में कई परिणाम सिद्ध किये गए। अभाज्य संख्या क्या है और इन संख्याओं की क्या मुख्यता है?

$5$, $7$, या $11$ जैसी संख्याओं को अभाज्य संख्याएँ कही जाती हैं क्योंकि इन सभी संख्याओं में केवल $2$ गुणनखंड होते हैं – $1$ और संख्या स्वयं।

इस लेख में, आप अभाज्य संख्याओं और उनके गुणों के बारे में जानेंगे।

अभाज्य संख्याएँ क्या होती हैं?

$1$ से बड़ी संख्या, ठीक दो गुणनखंडों के साथ, अर्थात, $1$ और वह संख्या ही अभाज्य संख्या कहलाती है। उदाहरण के लिए, $5$ में केवल $2$ गुणनखंड हैं, $1$ और स्वयं $5$। अतः यह एक अभाज्य संख्या है।

दूसरी ओर, ऐसी संख्याएँ हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं, जिनमें $1$ और स्वयं संख्या शामिल हैं। ऐसी संख्याओं को भाज्य अथवा समग्र संख्याएँ कहते हैं। उदाहरण के लिए, $6$ एक समग्र संख्या है क्योंकि इसमें $4$ गुणनखंड, $1$, $2$, $3$ और $6$ हैं। ऐसी सभी संख्याएँ जो अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, समग्र संख्याएँ कहलाती हैं।

नोट

• $1$ प्रत्येक संख्या का लघुत्तम गुणनखंड है।
• संख्या ही किसी भी संख्या का सबसे बड़ा गुणनखंड होती है।

$1$ से $1000$ तक अभाज्य संख्याएँ

यहाँ पहली $1000$ अभाज्य संख्याओं की सूची दी गई है 

$lt 10$	$2$, $3$, $5$, $7$
$10 \lt 20$	$11$, $13$, $17$, $19$
$20 \lt 30$	$23$, $29$
$30 \lt 20$	$31$, $37$
$40 \lt 30$	$41$, $43$, $47$
$50 \lt 40$	$53$, $59$
$60 \lt 50$	$61$, $67$
$70 \lt 60$	$71$, $73$, $79$
$80 \lt 70$	$83$, $89$
$90 \lt 100$	$97$
$100 \lt 200$	$101$, $103$, $107$, $109$, $113$, $127$, $131$, $137$, $139$, $149$, $151$, $157$, $163$, $167$, $173$, $ 179$, $181$, $191$, $193$, $197$, $199$
$200 \lt 300$	$211$, $223$, $227$, $229$, $233$, $239$, $241$, $251$, $257$, $263$, $269$, $271$, $277$, $281$, $283$, $293$
$300 \lt 400$	$307$, $311$, $313$, $317$, $331$, $337$, $347$, $349$, $353$, $359$, $367$, $373$, $379$, $383$, $389$, $397$
$400 \lt 500$	$401$, $409$, $419$, $ 421$, $431$, $433$, $439$, $443$, $449$, $457$, $461$, $463$, $467$, $479$, $487$, $ 491$, $499$
$500 \lt 600$	$503$, $509$, $521$, $523$, $541$, $547$, $557$, $563$, $569$, $571$, $577$, $587$, $593$, $599$
$600 \lt 700$	$601$, $607$, $613$, $617$, $619$, $631$, $641$, $643$, $647$, $653$, $659$, $661$, $673$, $677$, $683$, $ 691$
$700 \lt 800$	$701$, $709$, $719$, $ 727$, $733$, $739$, $743$, $751$, $757$, $761$, $769$, $773$, $787$, $797$
$800 \lt 900$	$809$, $811$, $821$, $823$, $827$, $829$, $839$, $853$, $857$, $859$, $863$, $877$, $881$, $883$, $887$
$900 \lt 1000$	$907$, $911$, $919$, $929$, $937$, $941$, $947$, $953$, $967$, $971$, $977$, $983$, $991$, $997$

अभाज्य संख्या ज्ञात करने की विधियाँ

अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने की विभिन्न विधियाँ हैं। इनमें से कुछ की चर्चा इस प्रकार है।

चालनी विधि

कैलकुलेटर और कंप्यूटर से पहले, संख्यात्मक तालिकाओं का उपयोग सभी अभाज्य संख्याओं या अभाज्य गुणनखंडों को एक निर्दिष्ट सीमा तक रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता था और आमतौर पर मुद्रित होते थे। अभाज्य संख्याओं की सूची तैयार करने की सबसे प्रिय विधि इरेटोस्थनीज की छलनी कहलाती है। इस पद्धति के परिणामस्वरूप इरेटोस्थनीज चार्ट नामक एक चार्ट बनता है, जैसा कि नीचे दिया गया है।

अभाज्य संख्याओं को $1$ से $100$ तक अलग करने के स्टैप्स इस प्रकार हैं:

स्टैप 1: सबसे पहले, सभी प्राकृतिक संख्याओं को $1$ से $100$ तक, पंक्ति-वार और स्तंभ-वार लिखें, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है

स्टैप 2: $1$ के ऊपर एक क्रॉस लगाएं, क्योंकि यह न तो अभाज्य संख्या है और न ही समग्र।

स्टैप 3: अब, संख्या $2$ (जो एक अभाज्य संख्या है) पर घेरा लगायें और $2$ के सभी गुणजों को काट दें, जैसे $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, इत्यादि। चूँकि $2$ के सभी गुणज समग्र हैं

स्टैप 4: अगला, संख्या $3$ पर घेरा लगायें, और $3$ के सभी गुणजों को काट दें, जैसे कि $9$, $15$, $21$, आदि। $3$ को छोड़कर, $3$ के सभी गुणज समग्र संख्याएं हैं।

स्टैप 5: फिर से, $ 5$ की संख्या पर घेरा लगाएं (क्योंकि इसमें केवल दो गुणनखंड हैं), और $ 5 $ के सभी गुणजों को काट दें।

स्टैप 6: अब $7$ पर घेरा लगायें और $7$ . के सभी गुणजों को काट दें 

स्टैप 7: प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि सभी संख्याओं को या तो घेरा या काट न कर दिया जाए।

नीचे दिया गया चार्ट $ 100$ तक की अभाज्य संख्याएँ दिखाता है, जिन्हें रंगीन बक्सों में दर्शाया गया है।

बीजगणितीय व्यंजक का उपयोग करना

बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग करके अभाज्य संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं। ऐसे कई भाव हैं। इनमें से दो भाव इस प्रकार हैं।

व्यंजक 1: बीजगणितीय व्यंजक $n^{2} + n + 41$, जहां $n$ कोई भी पूर्ण संख्या है, का उपयोग $40$ से बड़ी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने  के लिए किया जा सकता है। आइए कुछ मानों को अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए स्थानापन्न करें।

$n = 0$ को $n^{2} + n + 41$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $0^{2} + 0 + 41 = 0 + 0 + 41 = 41$ मिलता है।

$n = 1$ को $n^{2} + n + 41$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $1^{2} + 1 + 41 = 1 + 1 + 41 = 43$ मिलता है

$n = 2$ को $n^{2} + n + 41$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2^{2} + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47$ मिलता है।

$n = 3$ को $n^{2} + n + 41$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $3^{2} + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53$ मिलता है

ये सभी संख्याएँ $41$, $43$, $47$ और $53$ अभाज्य संख्याएँ हैं।

व्यंजक 2: बीजगणितीय  व्यंजक $6n + 1$ या $6n – 1$, जहां $n$ कोई भी पूर्ण संख्या है, का उपयोग $3$ से बड़ी अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए किया जा सकता है। आइए कुछ मानों को अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए स्थानापन्न करें।

$n = 1$ को $6n + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $6 \times 1 + 1 = 6 + 1 = 7$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।

$n = 1$ को $6n – 1$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $6 \times 1 – 1 = 6 – 1 = 5$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।

$n = 2$ को $6n + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $6 \times 2 + 1 = 12 + 1 = 13$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।

$n = 2$ को $6n – 1$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $6 \times 2 – 1 = 12 – 1 = 11$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।

ये सभी संख्याएँ $5$, $7$, $11$, और $13$ अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य और समग्र संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में, संख्याएँ या तो समग्र (अभाज्य) संख्याएँ या भाज्य संख्याएँ होती हैं।

अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या उससे बड़ी संख्या होती है जिसमें ठीक $2$ गुणनखंड, $1$ और स्वयं संख्या होती है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है और कोई भी सबसे बड़ी अभाज्य संख्या मौजूद नहीं है क्योंकि अनंत अभाज्य संख्याएँ हैं। $2$ को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम संख्याएँ हैं। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण हैं $2$, $3$, $5$, $7$, $11$,…

समग्र संख्याएँ

एक समग्र संख्या उस संख्या से बड़ी संख्या होती है जिसमें $ 1$ सहित $ 2$ से अधिक गुणनखंड होते हैं, और संख्या स्वयं होती है। सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है और कोई भी सबसे बड़ी भाज्य संख्या मौजूद नहीं है क्योंकि अनंत समग्र संख्याएँ हैं। एक भाज्य संख्या एक विषम संख्या या सम संख्या हो सकती है। समग्र संख्याओं के उदाहरण हैं $4$, $6$, $8$, $9$, और $10$,…

क्या $1$ अभाज्य संख्या है?

$1$ के गुणनखंडों की संख्या $1$ है। इस प्रकार, यह अभाज्य संख्याओं ($2$ के गुणनखंड वाले) की परिभाषा के योग्य नहीं है और समग्र संख्याओं की परिभाषा के लिए भी योग्य नहीं है ($2$ से अधिक गुणनखंड वाले)। इस प्रकार, $1$ न तो एक अभाज्य संख्या है और न ही एक समग्र संख्या। यह एक यूनिक संख्या है।

जुड़वा अभाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच केवल एक भाज्य संख्या होती है, जुड़वां अभाज्य संख्याएँ या जुड़वा अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। जुड़वां अभाज्य संख्याओं की दूसरी परिभाषा अभाज्य संख्याओं का युग्म है जो केवल $2$ से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, $3$ और $5$ ट्विन प्राइम हैं क्योंकि $5 – 3 = 2$।

जुड़वां अभाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं: 

• $\left(5, 7 \right) \{7 – 5 = 2 \}$
• $\left(11, 13 \right) \{13 – 11 = 2 \}$
• $\left(17, 19 \right) \{19 – 17 = 2 \}$
• $\left(29, 31 \right) \{31 – 29 = 2 \}$
• $\left(41, 43 \right) \{43 – 41 = 2 \}$
• $\left(59, 61 \right) \{61 – 59 = 2 \}$
• $\left(71, 73 \right) \{73 – 71 = 2 \}$

सह अभाज्य संख्याएँ

दो संख्याओं को एक दूसरे का सह अभाज्य कहा जाता है यदि उनका उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है। उदाहरण के लिए, $2$ और $3$ और $6$ और $13$ सह प्रधान हैं क्योंकि समान गुणनखंड केवल $1$ है। यहाँ $2$ और $3$ जुड़वा अभाज्य भी हैं। लेकिन $3$ और $6$ जुड़वा अभाज्य नहीं हैं।

निष्कर्ष

अभाज्य संख्याएँ $1$ से बड़ी संख्याएँ होती हैं जिनमें ठीक $2$ गुणज, $1$ और स्वयं संख्या होती है। $1$ से बड़ी कोई अन्य संख्या जो एक अभाज्य संख्या नहीं है, एक भाज्य संख्या है। दोनों अभाज्य संख्याएँ और भाज्य संख्याएँ अनंत हैं और कोई सबसे बड़ी अभाज्य या भाज्य संख्या मौजूद नहीं है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

सही या गलत बताएं

• एक अभाज्य संख्या में केवल $1$ का गुणज होता है।
• एक समग्र संख्या में केवल $1$ का गुणज होता है।
• एक समग्र  संख्या में केवल $2$ गुणनखंड होते हैं।
• एक समग्र संख्या में केवल $2$ गुणनखंड होते हैं।
• एक अभाज्य संख्या में $2$ से अधिक गुणनखंड होते हैं।
• एक समग्र संख्या में $2$ से अधिक गुणज होते हैं।
• $1$ एक समग्र संख्या है।
• $1$ एक अभाज्य संख्या है।
• $1$ एक अद्वितीय संख्या है।
• $1$ का केवल $1$ गुणनखंड है।
• $1$ में $2$ गुणनखंड हैं।
• $1$ में $2$ से अधिक गुणनखंड हैं।
• $2$ सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।
• $4$ सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।
• $2$ सबसे छोटी समग्र संख्या है।
• $4$ सबसे छोटी समग्र संख्या है।

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