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अभाज्य गुणनखंडन – अर्थ, विधियाँ और उदाहरण

सितम्बर 1, 2022

prime factorization

This post is also available in: English

एक अभाज्य संख्या एक ऐसी संख्या है जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं – $1$ और स्वयं संख्या। वह संख्या जो अभाज्य संख्या नहीं है, भाज्य संख्या कहलाती है। किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अभाज्य गुणनखंड किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है।

उदाहरण के लिए, एक समग्र संख्या $6$ को $2 \times 3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां $2$ और $3$ दोनों अभाज्य संख्याएं हैं। इसलिए, $6$ का अभाज्य गुणनखंड $2 \times 3$ है।

अभाज्य गुणनखंडन क्या होता है?

किसी संख्या को उसके अभाज्य संख्याओं में विभाजित करने की विधि जो गुणा करने पर संख्या बनाने में मदद करती है, अभाज्य गुणनखंड कहलाती है। दूसरे शब्दों में, जब सभी अभाज्य गुणनखंडों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो आपको वह संख्या प्राप्त होती है जिसका अभाज्य गुणनखंड प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, $48$ के अभाज्य गुणनखंड $2$, $2$, $2$, $2$, और $3$ हैं, जैसे $2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48$, अथवा $2^{4}। times 3 = 48$।

इसी तरह, $90$ के अभाज्य गुणनखंड हैं $2$, $3$, $3$, और $5$ के बाद से, $2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$, अथवा $2 \times 3^{2} \times 5 = 90 $।

गुणनखंडों और अभाज्य गुणनखंडों के बीच अंतर

किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो किसी दी गई संख्या को बिना कोई शेष छोड़े पूर्ण रूप से विभाजित करती हैं। उदाहरण के लिए $3$ और $6$ और $18$ के गुणनखंड, क्योंकि $3 \times 6 = 18$। इसी तरह, $2$ और $9$ $18$ के गुणनखंड हैं, जैसे $2 \times 9 = 18$।

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड वे अभाज्य संख्याएँ होती हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, $2$, $3$, और $3$ $18$ के प्रमुख कारक हैं, क्योंकि $2 \times 3 \times 3 = 18$।

$18$ के गुणनखंड$18$ के अभाज्य गुणनखंड
$18$ के गुणनखंड $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, और $18$ हैं $18$ के अभाज्य गुणनखंड $2$, $3$ और $3$ हैं, क्योंकि $2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^{2} = 18$।

नोट

  • किसी संख्या का गुणनखंड अभाज्य संख्या या भाज्य संख्या हो सकता है, जबकि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंड हमेशा अभाज्य संख्या होता है।
  • किसी संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंड किसी दी गई संख्या के गुणनखंड होते हैं, जबकि दी गई संख्या के सभी गुणनखंड अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

अभाज्य गुणनखंड  की विधियाँ

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन की विभिन्न विधियाँ हैं। अभाज्य गुणनखंडन के लिए उपयोग की जाने वाली सबसे सामान्य विधियाँ हैं:

  • फ़ैक्टर ट्री विधि द्वारा अभाज्य गुणनखंड
  • भाग विधि द्वारा अभाज्य गुणनखंड

आइए समझते हैं कि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए इन विधियों का उपयोग कैसे किया जाता है। 

फ़ैक्टर ट्री विधि द्वारा अभाज्य गुणनखंडन

फ़ैक्टर ट्री विधि में, आप हमेशा किसी संख्या के सबसे छोटे गुणनखंड से शुरू करते हैं जो अभाज्य भी है और संख्या को विभाजित करता है। परिणामी संख्या फिर से एक अभाज्य गुणनखंड और एक संख्या के रूप में होती है। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि संख्या को और विभाजित नहीं किया जा सकता।

फ़ैक्टर ट्री विधि द्वारा अभाज्य गुणनखंडन के स्टैप्स

अभाज्य गुणनखंडन की गुणनखंड ट्री पद्धति में शामिल चरणों को समझने के लिए संख्या $840$ पर विचार करें।

स्टैप 1: गुणनखंड ट्री के ऊपर संख्या, $840$ रखें

स्टैप 2: फिर, सबसे कम संभव अभाज्य संख्या से शुरू होने वाले ट्री की शाखाओं के रूप में गुणनखंडों का एक युग्म लिखिए। यहाँ, वे $2$ और $420$ हैं

स्टैप 3: $420$ के लिए प्रक्रिया को दोहराएं। गुणनखंड युग्म $2$ और $210$ है

स्टैप 4: $210$ के लिए प्रक्रिया को दोहराएं। गुणनखंड युग्म $2$ और $105$ है

स्टैप 5: $ 105 $ के लिए प्रक्रिया को दोहराएं। गुणनखंड युग्म $3$ और $35$ है

स्टैप 6: $35$ के लिए प्रक्रिया को दोहराएं। गुणनखंड युग्म $5$ और $7$ है

स्टैप 7: स्टैप 6 में दोनों गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए यह प्रक्रिया पूरी करता है

अभाज्य गुणनखंडन

आइए $48$ संख्या के एक और उदाहरण पर विचार करें।

अभाज्य गुणनखंडन

भाग द्वारा अभाज्य गुणनखंडन

भाग विधि का उपयोग किसी बड़ी संख्या को अभाज्य संख्याओं से भाग देकर अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है। आइए जानें कि $72$ की संख्या का उपयोग करके भाग विधि द्वारा किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड कैसे ज्ञात करें।

स्टैप 1: संख्या को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से इस प्रकार विभाजित करें कि सबसे छोटी अभाज्य संख्या उस संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करे। यहां हम $72$ को $2$ से विभाजित करके $36$ प्राप्त करते हैं

स्टैप 2: फिर से, स्टैप 1 के भागफल को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें। $36$ को फिर से $2$ से विभाजित किया जाता है और हमें $15$ . मिलता है

स्टैप 3: स्टैप 2 दोहराएं, जब तक कि भागफल $1$ . न हो जाए

स्टैप 4: अंत में, उन सभी अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करें जो भाजक हैं। $72 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$  का अभाज्य गुणनखंड है।  

अभाज्य गुणनखंडन

आइए $252$ की संख्या के एक और उदाहरण पर विचार करें।

अभाज्य गुणनखंडन

अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग कहाँ किया जाता है?

अभाज्य गुणनखंड का उपयोग HCF और LCM ज्ञात करने के लिए।

दो संख्याओं का उच्चतम समापवर्तक (HCF) वह उच्चतम संभव संख्या है जो दोनों संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है। उच्चतम सामान्य कारक (HCF) को सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) भी कहा जाता है।

दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) दी गई संख्याओं के सभी उभयनिष्ठ गुणकों में सबसे छोटी संख्या है।

निष्कर्ष

अभाज्य गुणनखंडन किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करने का एक तरीका है। अभाज्य गुणनखंड का उपयोग HCF और LCM ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए 

  • $36$
  • $48$
  • $56$
  • $68$
  • $78$
  • $86$
  • $122$
  • $156$
  • $272$

अनुशंसित पठन

आमतौर पर  पूछे जाने वाले प्रश्न

गणित में अभाज्य गुणनखंडन क्या है?

किसी भी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन का अर्थ उस संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना है। एक अभाज्य संख्या एक ऐसी संख्या होती है जिसके ठीक दो गुणनखंड होते हैं, $1$ और स्वयं संख्या।

उदाहरण के लिए, $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$ का अभाज्य गुणनखंडन है। यहाँ $2$ और $3$ $48$ के अभाज्य गुणनखंड हैं।

अभाज्य गुणनखंडन कैसे करें?

इन दो विधियों में से किसी का उपयोग करके किसी भी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है:

भाग विधि – इस विधि में दी गई संख्या को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित किया जाता है जो इसे पूर्ण रूप से विभाजित करती है या विभाजित करने पर शेष $0$ छोड़ती है। इसके बाद, भागफल को फिर से सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित किया जाता है। यह चरण तब तक दोहराया जाता है जब तक कि भागफल $1$ न हो जाए और इसे आगे विभाजित नहीं किया जा सकता। फिर, सभी अभाज्य गुणनखंडों को एकत्र और गुणा किया जाता है।

फ़ैक्टर ट्री विधि – इस विधि में दिए गए नंबर को फ़ैक्टर ट्री के ऊपर रखा जाता है। फिर, कारकों के संबंधित जोड़े को पेड़ की शाखाओं के रूप में लिखा जाता है। इस चरण के बाद, मिश्रित गुणनखंडों को फिर से गुणनखंडित किया जाता है और अगली शाखाओं के रूप में लिखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक हमें सभी मिश्रित गुणनखंडों के अभाज्य गुणनखंड प्राप्त नहीं हो जाते।

अभाज्य गुणनखंडन क्यों महत्वपूर्ण है?

अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग संख्याओं के महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और लघुतम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात के लिए किया जाता है।

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