अपरिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव (उदाहरण के साथ)

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वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में संख्याओं की दो व्यापक श्रेणियां होती हैं – परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ। एक परिमेय संख्या को अनुपात या भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ एक अंश और हर पूर्णांक होते हैं। दूसरी ओर, वे संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, अर्थात्, जो संख्याएँ परिमेय नहीं हैं वे अपरिमेय हैं। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं।

इस लेख में हम अपरिमेय संख्याओं के जोड़ और घटाव पर चर्चा करेंगे।

अपरिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव

आप परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच और दो अपरिमेय संख्याओं के बीच जोड़ और घटाव भी कर सकते हैं। निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए जब आप वास्तविक संख्याओं और उन पर गणितीय संक्रियाओं से निपटते हैं:

• जब एक परिमेय और अपरिमेय संख्या पर जोड़ या घटाव किया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होती है।
• जब एक अपरिमेय और अपरिमेय संख्या पर जोड़ या घटाव किया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय या परिमेय संख्या हो सकती है।

अपरिमेय संख्याओं का जोड़

आप किसी भी वास्तविक संख्या के साथ एक अपरिमेय संख्या जोड़ सकते हैं, अर्थात, एक अपरिमेय संख्या को एक प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक या एक परिमेय संख्या में जोड़ा जा सकता है।

नोट:

• सभी प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं
• परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं

जब भी एक अपरिमेय संख्या को एक परिमेय संख्या में जोड़ा जाता है, तो योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है और जब दो या अधिक अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है तो योग अपरिमेय संख्या या परिमेय संख्या हो सकती है।

अपरिमेय संख्या के साथ परिमेय संख्या का जोड़

यदि $a$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{b}$ एक अपरिमेय संख्या है, तो इन संख्याओं के योग को निम्नलिखित में से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है

• $a + \sqrt{b}$
• $\sqrt{b} + a$

आप $a + \sqrt{b}$ या $\sqrt{b} + a$ को और सरल नहीं बना सकते।   

उदाहरण

आइए एक परिमेय संख्या के साथ एक अपरिमेय संख्या के योग को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों को देखें।

Ex 1: $3$ और $\sqrt {2}$ जोड़ें

$3$ और $\sqrt {2}$ का योग $3 + \sqrt {2}$ या $\sqrt {2} + 3$ होगा। आप इसे और सरल नहीं कर सकते।

नोट: संख्याओं का योग क्रमचय होता है।

आप उत्तर को दशमलव रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं।

$3 + \sqrt {2}$ = $3 + \sqrt {2} = 3 + 1.4142135624… = 4.4142135624…$

आप उत्तर को $\frac {p}{q}$ रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते क्योंकि संख्या $3 + \sqrt{2}$ या $\sqrt{2} + 3$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

Ex 2: $-5$ और $\sqrt {3}$ जोड़ें

$-5$ और $\sqrt {3}$ का योग $-5 + \sqrt {3}$ या $\sqrt {3} + \left(-5 \right) = \sqrt {3} – 5 $  होगा। 

आप इसे और सरल नहीं कर सकते।

नोट: संख्याओं का योग क्रमविनिमेय है।

आप उत्तर को दशमलव रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं।

$-5 + \sqrt {3}$ = $-5 + \sqrt {3} = -5 + 1.7320508076… = -3.2679491924…$।

आप उत्तर को $\frac {p}{q}$ रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते क्योंकि संख्या $-5 + \sqrt{3}$ या $\sqrt{3} – 5$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

अपरिमेय संख्या के साथ अपरिमेय संख्या का योग

एक अपरिमेय संख्या का दूसरी अपरिमेय संख्या के साथ योग एक अपरिमेय संख्या हो सकती है या यह एक परिमेय संख्या भी हो सकती है।

उदाहरण

आइए दो या दो से अधिक अपरिमेय संख्याओं के योग को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।  

Ex 1: $\sqrt {7}$ और $\sqrt{7}$ . जोड़ें

$\sqrt {7} + \sqrt {7} = \sqrt {7} \times 1 + \sqrt {7} \times 1 = \sqrt {7}\left(1 + 1 \right) = \sqrt{7 } \times 2 = 2\sqrt{7}$।

नोट: योग एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 2: $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ . जोड़ें

$\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ का योग $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ या $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ होगा।

आप $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ को और सरल नहीं कर सकते, हालांकि आप दशमलव रूप में योग को लिख सकते हैं परन्तु $\frac {p}{q}$ रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

$\sqrt{3} + \sqrt{5} = 1.7320508076… + 2.2360679775… = 3.9681187851…$।

नोट: योग एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 3: $\sqrt{2}$ और $\sqrt{8}$ . जोड़ें

$\sqrt{8}$ को $\sqrt{2 \times 2 \times 2} = \sqrt{2^{2} \times 2} = \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 1 \times \sqrt{2} + 2 \times \sqrt{2} =\left(1 + 2 \right)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$। 

नोट: योग एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 4: $\sqrt{5}$ और $-\sqrt{5}$ . जोड़ें

$\sqrt{5} + \left(-\sqrt{5} \right) = \sqrt{5} – \sqrt{5} = 0$।

योग एक परिमेय संख्या है।

नोट: $0$ एक परिमेय संख्या है। 

अपरिमेय संख्याओं का घटाव

आप एक अपरिमेय संख्या को किसी भी वास्तविक संख्या से घटा सकते हैं, अर्थात, एक अपरिमेय संख्या को एक प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक, या एक परिमेय संख्या में/से घटाया जा सकता है।

जब भी एक अपरिमेय संख्या को परिमेय संख्या में/से घटाया जाता है, तो अंतर हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है और जब दो अपरिमेय संख्याओं को घटाया जाता है तो अंतर अपरिमेय संख्या या परिमेय संख्या हो सकती है।

अपरिमेय संख्या के साथ परिमेय संख्या का घटाव

यदि $a$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{b}$ एक अपरिमेय संख्या है, तो इन संख्याओं के बीच के अंतर निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार से  लिखा जा सकता है

• $a – \sqrt{b}$
• $\sqrt{b} – एक$

आप $a – \sqrt{b}$ या $\sqrt{b} – a$ को और आसान नहीं बना सकते।

उदाहरण

आइए एक परिमेय संख्या के साथ एक अपरिमेय संख्या के योग को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों को देखें।

Ex 1: $\sqrt {3}$ को $2$ से घटाएं

$2$ और $\sqrt {3}$ का अंतर $2 – \sqrt {3}$ होगा। आप इसे और सरल नहीं कर सकते।

आप उत्तर को दशमलव रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं।

$2 – \sqrt {3} = 2 – 1.7320508076… = 0.2679491924…$

इसी प्रकार, $\sqrt {3} – 2 = 1.7320508076… – 2 = -0.2679491924…

Ex 2: $-3$ को $\sqrt {5}$ से घटाएं

$-3$ का अंतर $\sqrt {5}$ से = $\sqrt {5} – \left(-3 \right) = \sqrt {5} + 3$ या $3 + \sqrt {5}$।

आप इसे और सरल नहीं कर सकते।

आप उत्तर को दशमलव रूप में भी लिख सकते हैं।

$3 + \sqrt {5} = 3 + 2.2360679775… = 5.2360679775…$ 

अपरिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या का घटाव

एक अपरिमेय संख्या और दूसरी अपरिमेय संख्या के बीच का अंतर एक अपरिमेय संख्या हो सकता है या यह एक परिमेय संख्या भी हो सकता है।

उदाहरण

आइए दो अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर को समझने के लिए कुछ उदाहरणों को देखें।

Ex 1: $\sqrt {2}$ को $\sqrt{7}$ से घटाएं

$\sqrt {2}$ से $\sqrt {7}$ का अंतर $\sqrt {7} – \sqrt {2}$ है।

आप इसे और सरल नहीं कर सकते।

आप उत्तर को दशमलव रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं।

$\sqrt{7} – \sqrt {2} = 2.64575131106… – 1.41421356237… = 1.23153774869…$ जो एक अपरिमेय संख्या है। 

Ex 2: $\sqrt{3}$ को $\sqrt{3}$ से घटाएं

$\sqrt{3}$ और $\sqrt{3}$ का अंतर $\sqrt{3} है – \sqrt{3} = 0$

अंतर एक परिमेय संख्या है।

निष्कर्ष

आप अपरिमेय संख्याओं पर जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ कर सकते हैं। जब भी आप एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या को जोड़ते या घटाते हैं, तो परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। परन्तु जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा या घटाया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या हो सकती है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित ऑपरेशन करें

• $2 + \sqrt{5}$
• $-3 – \sqrt{2}$
• $\sqrt{7} + \sqrt{5}$
• $\sqrt{8} + \sqrt{2}$
• $2\sqrt{5} – \sqrt{3}$
• $7\sqrt{3} – \sqrt{3}$
• $7 + 7\sqrt{2}$
• $5\sqrt{2} -3\sqrt{2}$
• $\sqrt{8} – \sqrt{2}$

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आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न