अपरिमेय संख्याओं का गुणन (उदाहरण के साथ)

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गुणा गणित के चार मूलभूत संक्रियाओं में से एक है। जिस प्रकार आप प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं से गुणा कर सकते हैं, उसी प्रकार आप अपरिमेय संख्याओं के साथ भी यह संक्रिया कर सकते हैं।

आइए समझते हैं कि आप अपरिमेय संख्याओं से गुणा कैसे करते हैं।

अपरिमेय संख्याओं का गुणन

आप परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच और दो अपरिमेय संख्याओं के बीच भी गुणा कर सकते हैं। जब आप वास्तविक संख्याओं और उन पर गणितीय संक्रियाओं का अध्ययन करते हैं, तो निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

जब गुणा एक परिमेय और अपरिमेय संख्या पर किया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होती है।

और जब गुणा एक अपरिमेय और अपरिमेय संख्या पर किया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय या परिमेय संख्या हो सकती है।

आप एक अपरिमेय संख्या को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा कर सकते हैं, अर्थात, एक अपरिमेय संख्या को एक प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक या एक परिमेय संख्या से गुणा किया जा सकता है।

नोट:

  • सभी प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं
  • परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं

अपरिमेय संख्या के साथ परिमेय संख्या का गुणन

जब एक परिमेय संख्या को एक अपरिमेय संख्या से गुणा किया जाता है तो उनके गुणनफल को दोनों में से किसी एक प्रकार से लिखा जा सकता है।

  • $a\sqrt[n]{b} \text{ } (a$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt[n]{b}$ एक अपरिमेय भाग है)
  • $\sqrt[n]{c}$ ($\sqrt[n]{c}$ एक अपरिमेय संख्या है)

उदाहरण

आइए परिमेय संख्याओं के साथ अपरिमेय संख्याओं के गुणन को समझने के लिए कुछ उदाहरणों को देखें।

Ex 1: $3$ और $\sqrt {5}$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

$3 \गुना \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$3\sqrt{5}$ में, $3$ एक परिमय हिस्सा है और $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय हिस्सा है।

आप $3\sqrt{5}$ को $\sqrt{3^{2}\times5}$ (क्योंकि $3 = \sqrt{3^{2}} = \sqrt{9} )$ के रूप में भी लिख सकते हैं।

इसलिए, $3\sqrt{5} = \sqrt{3^{2}\times5} = \sqrt{45}$। 

नोट: $\sqrt{45}$ भी एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 2: $2$ और $\sqrt[3] {7}$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

$2 \times \sqrt[3] {7} = 2\sqrt[3] {7}$।

$2\sqrt[3] {7}$ को $\sqrt[3] {2^{3} \times 7}$ क्योंकि,$2 = \sqrt[3]{2^{3}} = \sqrt[3]{8} )$  के रूप में भी लिखा जा सकता है।

इसलिए, $2\sqrt[3] {7} = \sqrt[3] {2^{3} \times 7} = \sqrt[3] {8 \times 7} = \sqrt[3] {56}$।

नोट: $\sqrt[3] {56}$ भी एक अपरिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या का अपरिमेय संख्या से गुणन

एक अपरिमेय संख्या और दूसरी अपरिमेय संख्या का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या हो सकती है या यह एक परिमेय संख्या भी हो सकती है।

दो या दो से अधिक अपरिमेय संख्याओं का गुणन दोनों में से किसी एक प्रकार का हो सकता है

  • सामान मूल की अपरिमेय संख्याओं का गुणन $\left(\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} \right)$
  • विभिन्न मूल की अपरिमेय संख्याओं का गुणन $\left(\sqrt[m]{a} \times \sqrt[n]{b} \right)$

सामान मूल की अपरिमेय संख्याओं का गुणन

जब आप दो या दो से अधिक समान मूल की अपरिमेय संख्याओं को गुणा करते हैं, तो मूल के अंदर की संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

गणितीय रूप से, इसे $\sqrt [n]{a} \times \sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{a \times b}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण

दो या दो से अधिक अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल को समझने के लिए, आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $\sqrt {2}$ और $\sqrt {3}$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि दो अपरिमेय संख्याओं के मूल समान हैं, इसलिए उन्हें सीधे गुणा किया जा सकता है।

$\sqrt {2} \times \sqrt {3} = \sqrt {2 \times 3} = \sqrt {6}$।

नोट: परिणाम एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 2: $\sqrt [5]{7}$ और $\sqrt [5]{2}$ का गुणनफल ज्ञात करें।

यहाँ भी दो अपरिमेय संख्याओं के मूल समान हैं।

$\sqrt [5]{7} \times \sqrt [5]{2} = \sqrt [5]{7 \times 2} = \sqrt [5]{14}$।

नोट: परिणाम एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 3: $3\sqrt [3]{2}$ और $\sqrt [3]{5}$ का गुणनफल ज्ञात करें।

$3$ को $\sqrt[3]{3^{3}} = \sqrt[3]{27}$ के रूप में लिखा जा सकता है

इसलिए, $3\sqrt [3]{2}$ $\sqrt [3]{27 \times 2} = \sqrt [3]{54}$ बन जाता है।

और, $3\sqrt [3]{2} \times \sqrt [3]{5} = \sqrt [3]{54} \times \sqrt [3]{5} = \sqrt [3]{54 \times 5} = \sqrt [3]{270}$।

नोट: परिणाम एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 4: $\sqrt {2}$ और $\sqrt {8}$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

$\sqrt {2} \times \sqrt {8} = \sqrt {2 \times 8} = \sqrt {16} = \sqrt {4^{2}} = 4$।

नोट: परिणाम एक परिमेय संख्या है।

विभिन्न मूलों की अपरिमेय संख्याओं का गुणन

जब आप दो या दो से अधिक विभिन्न मूलों की अपरिमेय संख्याओं को गुणा करते हैं, तो पहला कदम सभी अपरिमेय संख्याओं को समान मूलों में बदलना और फिर समान मूल की अपरिमेय संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया का उपयोग करना है।

अपरिमेय संख्याओं की विभिन्न मूलों में बदलने के लिए, मूलों का L.C.M.ज्ञात करते हैं। L.C.M.परिणाम के मूल का मूलांक होगा।

नोट: $\sqrt{}$ का मूलांक $2$ है, यानी $\sqrt{}$ और $\sqrt[2]{}$ एक ही हैं। $\sqrt{5} = \sqrt[2]{5}$।

उदाहरण

प्रक्रिया को समझने के लिए, आइए कुछ उदाहरणों को देखें। 

Ex 1: $\sqrt{3}$ और $\sqrt[3]{2}$ का गुणनफल ज्ञात करें।

$\sqrt{3}$ का मूलांक $2$ है और $\sqrt[3]{2}$ का मूलांक $3$ है।

$2$ और $3$ का LCM $6$ है।

$\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{27}$ और $\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^{2 }} = \sqrt[6]{4}$

अब, दो अपरिमेय संख्याओं के मूलांक समान हैं, इसलिए हम इन संख्याओं को गुणा कर सकते हैं।

$\sqrt{3} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{27} \times \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{27 \times 4} = \sqrt [6]{108}$।

नोट: परिणाम एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 2: $\sqrt[3]{2}$ और $\sqrt[5]{3}$ का गुणनफल ज्ञात करें।

LCM मूलांक $3$ और $5$ $15$ है।

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[15]{2^{5}} = \sqrt[15]{32}$

और, $\sqrt[5]{3} = \sqrt[15]{3^{3}} = \sqrt[15]{27}$

इसलिए, $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[5]{3} = \sqrt[15]{32} \times \sqrt[15]{27} = \sqrt[15]{32 \times 27} = \sqrt[15]{864}$।  

नोट: परिणाम एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 3: $\sqrt{2}$ और $\sqrt[4]{4}$ का गुणनफल खोजें।

$2$ और $4$ के  मूलांक का LCM $4$ है।

$\sqrt{2} = \sqrt[4]{2^{2}} = \sqrt[4]{4}$

इसलिए, $\sqrt{2} \times \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{4} \times \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{4 \times 4} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^{4}} = 2$।

नोट: एक परिणाम एक परिमेय संख्या है।

निष्कर्ष

आप एक अपरिमेय संख्या को परिमेय संख्या से या अपरिमेय संख्या से गुणा कर सकते हैं। जब आप एक अपरिमेय संख्या को परिमेय संख्या से गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है, जबकि दो या दो से अधिक अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल एक अपरिमेय या परिमेय संख्या हो सकती है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित को हल करें 

  • $4 \times \sqrt{3}$
  • $2 \times \sqrt[4]{3}$
  • $4 \times \sqrt[3]{5}$
  • $\sqrt{5} \times \sqrt{3}$
  • $\sqrt[5]{2} \times \sqrt[5]{3}$
  • $\sqrt{7} \times \sqrt[3]{2}$
  • $\sqrt[3]{3} \times \sqrt{9}$
  • $\sqrt[4]{2} \times \sqrt[5]{3}$

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आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

आप अपरिमेय संख्याओं को कैसे गुणा करते हैं?

 दो या दो से अधिक अपरिमेय संख्याओं को गुणा करने के लिए सबसे पहले यह जांच लें कि अपरिमेय संख्याओं के मूलांक समान हैं या नहीं। यदि समान है, तो संख्याओं को सीधे मूल में गुणा करें। यदि मूलांक भिन्न हैं, तो सबसे पहले अपरिमेय संख्याओं को उभयनिष्ठ मूलांक से बदलें और फिर गुणा करें।

क्या होता है जब आप एक अपरिमेय और अपरिमेय संख्या को गुणा करते हैं?

जब दो या दो से अधिक अपरिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या हो सकती है, या यह एक परिमेय संख्या भी हो सकती है।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का गुणन क्या है?

एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है।

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