अपरिमेय संख्याएँ – परिभाषा, गुण और उदाहरण

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कुछ वास्तविक संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इन संख्याओं को परिमेय संख्याएँ कहते हैं। परन्तु कुछ  वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं।

आइए अपरिमेय संख्याओं और उनके गुणों को समझते हैं।

अपरिमेय संख्याएँ क्या होती हैं – अपरिमेय की परिभाषा

सबसे पहले समझते हैं कि अपरिमेय संख्या क्या है और अपरिमेय की परिभाषा क्या है।

वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय संख्याएँ नहीं होती, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं को अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, अर्थात $\frac {p}{q}$ के रूप में, जहां $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$।

साथ ही, अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती दशमलव होता है।

नोट: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत या असांत होता है परन्तु वह एक आवर्ती दशमलव संख्या होती है। 

अपरिमेय संख्या के उदाहरण

$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt[4]{7}$, $\sqrt[5]{8}$ जैसी संख्याएं सभी अपरिमेय संख्याएं हैं। इन सभी संख्याओं में असांत और अनावर्ती दशमलव प्रसार होते हैं।

व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली कुछ अपरिमेय संख्याएँ हैं:

• $\pi = 3⋅14159265…$। चूँकि $\pi$ का मान भिन्न $\frac {22}{7}$ के करीब है, हम $\pi$ का मान $\frac {22}{7}$ या $3.14$ के रूप में लेते हैं।
• यूलर की संख्या $e = 2⋅718281⋅⋅⋅⋅$
• गोल्डन रेश्यो, $\phi = 1.61803398874989….$

एक संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करना

परिमेय संख्याओं के साथ अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। इसलिए, संख्या रेखा पर उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अनन्य  बिंदु माना जाता है। $\sqrt{n}$ के रूप में कुछ अपरिमेय संख्याएँ, जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, को निम्न चरणों का उपयोग करके एक संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है।

स्टैप 1: वर्गमूल के अंदर की संख्या को इस प्रकार विभाजित करें कि योग संख्या संख्या के बराबर हो 

स्टैप 2: इन दो प्राकृतिक संख्याओं के बीच की दूरी मूल बिन्दु से प्रारंभ होकर संख्या रेखा पर बराबर होनी चाहिए। एक रेखा दूसरी के लंबवत होनी चाहिए

स्टैप 3: पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें

स्टैप 4: वांछित माप के रूप में क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करें

आइए इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए $\sqrt{2}$ के उदाहरण पर विचार करें।

स्टैप 1: केंद्र को शून्य के रूप में, शून्य के बाईं ओर $-1$ के रूप में और शून्य के दाईं ओर $1$ के साथ एक संख्या रेखा बनायें

स्टैप 2: $0$ और $1$ के बीच समान लंबाई रखते हुए, बिंदु $1$ पर लंबवत रेखा खींचें जिस की लंबाई $1$ इकाई हो

स्टैप 3: AB को ऊँचाई, BC को आधार और AC को कर्ण के रूप में रखते हुए एक समकोण त्रिभुज ABC बनायें 

स्टैप 4: पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके कर्ण यानी AC की लंबाई ज्ञात करें

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} => AC^{2} = 1^{2} + 1^{2} => AC^2 = 2 => AC = \sqrt {2}$

स्टैप 5: AC को त्रिज्या के रूप में C को केंद्र के रूप में रखते हुए, उसी संख्या रेखा पर एक चाप को D के रूप में नामित करते हुए काट लें। CD भी चाप की त्रिज्या बन जाएगी जिसकी लंबाई $\sqrt{2}$ होगी।

स्टैप 6: इसलिए, बिंदु D संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को दर्शाता है।

अपरिमेय संख्याओं के गुण

आप अपरिमेय संख्याओं पर निम्नलिखित चार बुनियादी संक्रियाओं में से कोई भी कार्य कर सकते हैं।

• जोड़
• घटाव
• गुणा
• भाग 

इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन निम्नलिखित में से एक या अधिक गुण दिखाता है:

• संवरक गुण
• क्रमचयी गुण
• साहचर्य गुण 

आइए अपरिमेय संख्याओं के इन गुणों को विस्तार से समझते हैं।

अपरिमेय संख्याओं का संवरक गुण

संवरक गुण में कहा गया है कि यदि किसी समुच्चय से कोई दो संख्याएँ एक अंकगणितीय ऑपरेशन द्वारा संचालित होती हैं तो उनका परिणाम भी उसी समुच्चय में होता है।

संवरक गुण को अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में जोड़ और घटाव के संचालन द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

अपरिमेय संख्याओं के जोड़ का संवरक गुण

इसमें कहा गया है कि जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो उनका योग भी एक अपरिमेय संख्या होती है।

गणितीय रूप से, इसे $a, b \in \overline{Q}, \text {then } a + b \in \overline{Q}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{2}$ और $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्याएं हैं, तो उनका योग $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ भी एक अपरिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्याओं के घटाव का संवरक गुण

 इसमें कहा गया है कि जब दो अपरिमेय संख्याओं को घटाया जाता है, तो उनका अंतर भी एक अपरिमेय संख्या होता है।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in \overline{Q}, \text {then } a – b \in \overline{Q}$।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{5}$ और $\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्याएं हैं, और उनका अंतर $\sqrt{5} – \sqrt{2}$ और साथ ही $\sqrt{2} – \sqrt {5}$ भी अपरिमेय संख्याएं हैं।

नोट: संवरक गुण अपरिमेय संख्याओं के गुणन और विभाजन के लिए मान्य नहीं है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल या भागफल परिमेय संख्याएँ भी हो सकती हैं।

अपरिमेय संख्याओं का क्रमचय गुण

क्रमचय गुण एक ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

क्रमचय गुण अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में जोड़ और गुणा की संक्रियाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में क्रमचय गुण प्रदर्शित नहीं करते हैं।

अपरिमेय संख्याओं के जोड़ का क्रमचय गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं के लिए उनका योग समान रहता है, भले ही संख्याओं के स्थान आपस में बदल दिए जाएं या बदल दिए जाएं।

गणितीय रूप से, इसे $a, b \in \overline{Q}, \text { then } a + b = b + a$ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{7}$ और $\sqrt{11}$ दो अपरिमेय संख्याएँ हैं। $\sqrt{7} + \sqrt{11} = \sqrt{11} + \sqrt{7}$

अपरिमेय संख्याओं के गुणन का क्रमचय गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं के लिए उनका गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं के स्थान आपस में बदल दिए जाएं।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in \overline{Q}, \text {then } a \times b = b \times a$।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ दो अपरिमेय संख्याएं हैं। $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$ और साथ ही $\sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{15}$।

अपरिमेय संख्याओं का साहचर्य गुण

साहचर्य गुण एक ऑपरेशन में अपरिमेय संख्याओं के समूहन से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन करते समय संख्याओं के समूह को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

साहचर्य गुण अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में संक्रिया जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में साहचर्य गुण प्रदर्शित नहीं करते हैं।

अपरिमेय संख्याओं के जोड़ का साहचर्य गुण

इसमें कहा गया है कि किन्हीं तीन अपरिमेय संख्याओं का योग समान रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है $a, b, c \in \overline{Q}, \text {then } \left (a + b \right) + c = a + \left(b + c \right)$ .

उदाहरण के लिए, तीन अपरिमेय संख्याओं के लिए $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ और $\sqrt{7}$, $\left( \sqrt{2} + \sqrt{5} \right) + \sqrt{7}$ और $\sqrt{2} + \left(\sqrt{5} + \sqrt{7} \right)$ बराबर हैं।

अपरिमेय संख्याओं के गुणन का साहचर्य गुण

यह बताता है कि किन्हीं तीन अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है $a, b, c \in \overline{Q}, \text { then } \left (a \times b \right) \times c = a \times \left(b \times c \right)$.

उदाहरण के लिए, तीन अपरिमेय संख्याओं $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ और $\sqrt{11}$, $\left( \sqrt{3} \times \sqrt{5} \right) के लिए \times \sqrt{11} = \sqrt{15} \times \sqrt{11} = \sqrt{165}$ और $\sqrt{3} \times \left(\sqrt{5} \times \sqrt{11 } \right) = \sqrt{3} \times \sqrt{55} = \sqrt{165}$.

परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर निम्नलिखित है।

मापदंड	परिमेय संख्याएँ	अपरिमेय संख्याएँ
अर्थ	परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो संख्याओं के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे $\frac {p}{q}$ के रूप में लिखी जा सकती हैं जहां $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ $7$ को $\frac {7}{1}$ भी लिखा जा सकता है	अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो संख्याओं के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। संख्या $\pi = 3.14159265358979…$ को $\frac {p}{q}$ रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता
गुण	परिमेय संख्येन प्रदर्शित करती हैंजोड़, घटाव, गुणा और भाग का संवरक गुण जोड़ और गुणा का क्रमचय गुण जोड़ और गुणा की साहचर्य गुणजोड़ और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुणयोगज तत्समक का होना गुणनात्मक तत्समक का होनायोज्य प्रतिलोम का होनागुणनात्मक प्रतिलोम का होना	अपरिमेय संख्याएं प्रदर्शित करती हैंजोड़ और घटाव का संवरक गुण (गुणा और भाग की संवरक गुण मौजूद नहीं है)जोड़ और गुणा का क्रमचय गुण जोड़ और गुणा का साहचर्य गुण अपरिमेय संख्याओं की योगज तत्समक मौजूद नहीं है ($0$ एक परिमेय संख्या है)अपरिमेय संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक मौजूद नहीं है ($1$ एक परिमेय संख्या है)योगात्मक प्रतिलोम का होना गुणनात्मक प्रतिलोम का होना
रूप	परिमेय संख्याओं के अंश और हर दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं, जहाँ एक परिमेय संख्या का हर शून्य के बराबर नहीं होता है।	उन्हें भिन्नात्मक रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है
दशमलव रूप	वे दशमलव स्थान वाली संख्याएँ हैं जो परिमित या अनंत हैं लेकिन प्रकृति में आवर्ती हैं। उदाहरण: 2.9, 7, 8.66…, 9.1212…	वे प्रकृति में असांत या अनावर्ती हैं। उदहारण: 3.141592…, 1.61803398…

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित में से कौन-सी अपरिमेय संख्याएँ हैं

• $\sqrt{4}$
• $\sqrt{8}$
• $\sqrt{6}$
• $\sqrt[3]{3}$
• $\sqrt[3]{9}$
• $\sqrt[3]{18}$
• $\sqrt[4]{2}$
• $\sqrt[4]{4}$
• $\sqrt[4]{6}$

2. सही या गलत बताएं

• दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है
• दो अपरिमेय संख्याओं का अंतर हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है
• दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है
• दो अपरिमेय संख्याओं का भागफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, अर्थात, इन संख्याओं को $\frac {p}{q}$ रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जब एक दशमलव रूप में विस्तारित किया जाता है तो उनके परिणामस्वरूप असांत और अनावर्ती दशमलव संख्याएं होती हैं।

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