• Home
  • /
  • Blog
  • /
  • 2 مفاهيم رائعة – الترتيبات والاختيارات

2 مفاهيم رائعة – الترتيبات والاختيارات

الترتيبات والاختيارات

This post is also available in: English (الإنجليزية) हिन्दी (الهندية)

تتناول هذه المقالة “2 مفاهيم رائعة – الترتيبات والاختيارات” موضوعين مهمين في الرياضيات – التقليبوالتجميع. قبل الانتقال إلى هذه الموضوعات ، دعنا أولاً نلقي نظرة على مصطلح آخر مرتبط –عاملي.

عامل الضرب لرقم

يتم حساب مضروب العدد الصحيح n ، المكتوب بالصيغة n !، ‘بضرب n في جميع الأعداد الصحيحة الأصغر منه. على سبيل المثال ، مضروب 4 (مكتوبًا كـ 4!) هو 24 ، لأن 4 × 3 × 2 × 1 = 24. ومن ثم يمكن كتابة 4! = 24.

يُستخدم العامل عاملي لمعرفة عدد الطرق الممكنة لترتيب عدد n من الكائنات.

على سبيل المثال ، إذا كان هناك 3 أحرف (A و B و C) ، فيمكن ترتيبها كـ ABC و ACB و BAC و BCA و CAB و CBA.

يمكن تفسيرها على النحو التالي:

يمكن تمثيل الأماكن التي تناسب الأحرف الثلاثة على أنها ___ ___ ___

يمكن وضع الحرف الأول A في أي من الأماكن الثلاثة: A ___ ___ أو ___ A ___ أو ___ ___ A

يمكن وضع الحرف الثاني B في أي من المكانين المتبقيين: A B ___ أو A ___ B أو B A ____ أو ____ A B أو B ___ A أو ___ B A

سيتم ترك الحرف الثالث C مع مكان شاغر واحد فقط.

لذلك ، فإن عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب 3 كائنات (الأحرف في هذه الحالة) = 3 × 2 × 1 = 6 = 3!

وظيفة مضروب تنمو بسرعة كبيرة. هناك 10! = 3628800 طريقة لترتيب 10 عناصر.

ن! لم يتم تعريفه للأرقام السالبة و 0! = 1.

الترتيبات والاختيارات

مفهومان مهمان في حل العديد من المشكلات هما التقليب (الترتيب) والجمع (الاختيار). أولاً ، دعونا نرى ما هو الفرق بين هذين المصطلحين.

لنفكر في ثلاثة أشياء – أ ، ب ، ج.

كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب كائنين من العناصر الثلاثة المذكورة أعلاه؟

يمكن أن تكون الترتيبات الممكنة هي AB و BA و AC و CA و BC و CB. هناك 6 طرق مختلفة يمكن ترتيب كائنين من العناصر الثلاثة المحددة. (لاحظ أن AB و BA مختلفان كما في AB ، وتأتي A أولاً وفي BA وتأتي B أولاً. وينطبق الشيء نفسه على CA

التقليب هو ترتيب للكائنات r من كائنات معينة ويتم الإشارة إليها بواسطة nPr أو P (n ، r) يتم تقييم تبديل كائنات r من كائنات n معينة باستخدام الصيغة P (n ، r) = n! / (n – r)!

في الحالة أعلاه ، n = 3 و r = 2 ، P (n ، r) = P (3 ، 2) = 3! / (3 – 2)! = 3! / 1! = (3 × 2 × 1) / 1 = 6.

الآن ، دعنا نرى في عدد الطرق التي يمكن بها اختيار كائنين من هذه الكائنات الثلاثة المحددة؟

التحديدات الممكنة ستكون AB و AC و BC. هناك 3 طرق مختلفة يمكن اختيار كائنين من بين 3 كائنات. (لاحظ أن BA هو نفسه AB ، لأن BA و AB يعنيان تحديد A و B. والأمر نفسه ينطبق على CA

التركيبة عبارة عن مجموعة مختارة من كائنات r من كائنات n المعطاة ويتم الإشارة إليها بواسطة nCr أو C (n ، r). يتم تقييم مجموعة كائنات r من كائنات n معينة باستخدام الصيغة C (n ، r) = n! /[r!(n – r)!]

في الحالة المذكورة أعلاه ، n = 3 و r = 2 ، C (n ، r) = C (3، 2) = [3!/2!(3 – 2)!] = [3!/(2!)1!] = (3 × 2 × 1) / ((2 × 1) × 1) = 3.

الفرق بين التقليب والجمع

توضح الأمثلة التالية الفرق بين التقليب والجمع.

التقليبمزيج
ترتيب المأكولات في قائمة الطعام في المطعم.اختيار المأكولات من قائمة الطعام في مطعم.
ترتيب الزهور في باقة.اختيار الزهور من باقة من الزهور.
ترتيب لاعبي الفريق في خط واحد.اختيار لاعبي الفريق من مجموعة من اللاعبين.
التقليب والجمع

دعونا ننظر في المثال التالي. يوجد 20 لاعبًا ويريد المحددون اختيار 11 لاعبًا من هذه الطرق العشرين. كم عدد الفرق المختلفة المكونة من 11 لاعبًا التي يمكن تشكيلها؟ هنا n = 20 و r = 11. نظرًا لأن المحدِّدين يريدون اختيار اللاعبين ، فسنستخدم المجموعة.

عدد الفرق المميزة التي يمكن تشكيلها = C (20 ، 11) = 20! / (11! × (20-11)!) = 20! / (11! × 9!)

= (20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11!) / (11! × 9!)

= (20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12) / (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

= 167960

الآن ، نريد أن نعرف عدد الطرق التي يمكن أن يقف بها هؤلاء اللاعبون الأحد عشر في طابور. في هذه الحالة ، سنستخدم التقليب ، لأننا نريد ترتيب اللاعبين في سطر. هنا n = 11 و r = 11 (نظرًا لأنه سيتم ترتيب جميع اللاعبين الأحد عشر في خط). الخطوط (الترتيبات) المختلفة التي يمكن تشكيلها هي P (11 ، 11) = 11! / (11-11)! = 11! / 0! = 11! (0! = 1) = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 39،916،800

يتم استخدام التقليب والجمع على نطاق واسع في حل ألغاز الرياضيات الصعبة. ابحث عن بعض مشكلات العالم الحقيقي حول التقليب والجمع هنا:

https://www.youtube.com/watch?v=X9-Yjxt6nf4
{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>