سلسلة فيبوناتشي وتطبيقاتها المذهلة

This post is also available in: English (الإنجليزية) हिन्दी (الهندية)

ما هي سلسلة فيبوناتشي؟

تم اكتشاف تسلسل فيبوناتشي لأول مرة بواسطة ليوناردو بيسانو. كان معروفًا بلقبه ، فيبوناتشي.

تسلسل فيبوناتشي هو مجموعة من الأرقام التي تبدأ برقم ، متبوعًا برقم ، وتستمر بناءً على قاعدة أن كل رقم (يسمى رقم فيبوناتشي) يساوي مجموع العددين السابقين.

يتم تحديد الأرقام في تسلسل فيبوناتشي من خلال العلاقة العودية F (n) = F (n – 1) F (n – 2) ، لجميع n ≥ 3 ، حيث F (1) = 1 و F (2) = 1.

يمكن كتابة متوالية فيبوناتشي على النحو التالي 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، ….

واحدة من أكثر التجارب شيوعًا التي تتناول تسلسل فيبوناتشي هي تجربته مع الأرانب. وضع فيبوناتشي أرنبًا ذكرًا وأنثى في حقل. افترض فيبوناتشي أن الأرانب تعيش بلا حدود ، وفي كل شهر يتم إنتاج زوج جديد من ذكر وأنثى. سأل فيبوناتشي كم عدد الأرانب التي سيتم تكوينها في السنة؟ بعد تسلسل فيبوناتشي ، تم تحديد تكاثر الأرانب بشكل مثالي – 144 أرنباً.

على الرغم من أن تسلسل الأرانب غير واقعي ، إلا أنه يسمح للناس بربط سلسلة متطورة للغاية من الأرقام المعقدة بفكر يومي منطقي ومفهوم.

تسلسل فيبوناتشي في الطبيعة

يمكن العثور على تسلسل أرقام فيبوناتشي في الطبيعة ليس فقط في تجربة الأرنب الشهيرة ولكن أيضًا في الزهور الجميلة. على رأس زهرة عباد الشمس ، البذور معبأة بطريقة معينة بحيث تتبع نمط تسلسل فيبوناتشي. يمنع هذا اللولب بذور عباد الشمس من مزاحمة نفسها ، مما يساعدها على البقاء على قيد الحياة. قد ترتبط بتلات الزهور والنباتات الأخرى أيضًا بتسلسل فيبوناتشي بالطريقة التي تخلق بها بتلات جديدة.

بتلات على الزهور

ربما لم يأخذ معظمنا الوقت الكافي لفحص عدد أو ترتيب البتلات على زهرة بعناية فائقة. إذا أردنا القيام بذلك ، فسنجد أن عدد بتلات الزهرة التي لا تزال جميع بتلاتها سليمة ولم تفقد أيًا منها ، لأن العديد من الزهور هو رقم فيبوناتشي.

1 بتلة: زنبق كالا أبيض

3 بتلات: زنبق ، قزحية

5 بتلات: الحوذان ، الورد البري ، لاركسبور ، كولومبين (أكويليجيا)

8 بتلات: دلفينيوم

13 بتلة: راجوورت ، آذريون الذرة ، سينيريا

21 بتلة: أستر ، سوزان سوداء العينين ، هندباء

34 بتلة: لسان الحمل ، بيريثروم

55 ، 89 بتلة: أقحوان مايكلماس ، عائلة asteraceae

حلزونات فيبوناتشي

تم العثور على أرقام فيبوناتشي في ترتيب البذور على رؤوس الزهور. داخل ثمار العديد من النباتات ، يمكننا ملاحظة وجود ترتيب فيبوناتشي.

هناك 55 حلزونيًا يتصاعد إلى الخارج و 34 حلزونيًا يتصاعد إلى الداخل في معظم أزهار الأقحوان أو عباد الشمس. تظهر مخاريط الصنوبر بوضوح حلزونات فيبوناتشي.

يمكن العثور على حلزونية فيبوناتشي في القرنبيط.

يمكن أيضًا العثور على أرقام فيبوناتشي في الأناناس والموز. يحتوي الموز على 3 أو 5 جوانب مسطحة بينما تحتوي قشور الأناناس على حلزونات فيبوناتشي في مجموعات من 8 و 13 و 21.

توجد حلزونات فيبوناتشي أيضًا في القواقع وأصداف البحر.

توجد أرقام فيبوناتشي أيضًا في الأمواج ، مزيج من الألوان ؛ الورود إلخ.

فيبوناتشي في أعضاء جسم الإنسان

يُظهر البشر خصائص فيبوناتشي. كل إنسان له يدان ، كل واحدة منهما بها خمسة أصابع ولكل إصبع ثلاثة أجزاء مفصولة بمفصلتين. كل هذه الأرقام تتناسب مع التسلسل. علاوة على ذلك ، فإن أطوال العظام في اليد هي بأرقام فيبوناتشي.

فيبوناتشي في الموسيقى

يتجلى تسلسل أرقام فيبوناتشي في الموسيقى على نطاق واسع. الأرقام موجودة في الأوكتاف ، الوحدة الأساسية للحن والوئام. استخدم ستراديفاريوس متتالية فيبوناتشي لصنع أعظم الآلات الوترية التي تم إنشاؤها على الإطلاق. يُظهر بحث Howat عن أعمال ديبوسي أن الملحن استخدم أرقام فيبوناتشي لبناء موسيقاه. يكشف تكوين فيبوناتشي عن الجاذبية الجمالية المتأصلة لهذه الظاهرة الرياضية. الفترات الفاصلة بين المفاتيح على البيانو بنفس المقاييس هي أرقام فيبوناتشي.

فيبوناتشي في مثلث باسكال

يتم تطبيق أرقام فيبوناتشي أيضًا فيمثلث باسكال. الإدخال هو مجموع الرقمين على جانبيها ولكن في الصف أعلاه. المجاميع القطرية في مثلث باسكال هي أرقام فيبوناتشي.

النسبة الذهبية

النسبة الذهبية ، والمعروفة أيضًا بالقسم الذهبي ، أو الوسط الذهبي ، أو النسبة الإلهية ، في الرياضيات ، الرقم غير المنطقي (1 + √5)/2 ، غالبًا ما يُشار إليه بالحرف اليوناني ɸ ، والذي يساوي تقريبًا 1.6180339887.

كيف أتت 1.6180339887؟

دعونا نلقي نظرة على نسبة كل رقم في تسلسل فيبوناتشي إلى الرقم الذي يسبقه:

إذا واصلنا القيام بذلك ، فسنحصل على رقم مثير للاهتمام يسميه علماء الرياضيات “فاي” ، يُشار إليه بالرمز ɸ.

إذا كنت تأخذ ثلاثة شروط متتالية من متسلسلة فيبوناتشي مثل a و b و (ab) ، إذن (b / a) ≈ (ab) / b ≈ (a / b) 1 وهذا يعني ، ɸ = (1 / ɸ) 1 = > ɸ² – ɸ – 1 = 0 = e> ɸ = (1 √5) / 2 1.618.

تطبيقات النسبة الذهبية

أظهر ليوناردو دافنشي أنه في “الرجل المثالي” كان هناك الكثير من القياسات التي تتبع النسبة الذهبية. النسبة الذهبية معروفة للبشرية منذ آلاف السنين.

تستخدم النسبة الذهبية على نطاق واسع في الهندسة. إنها نسبة ضلع البنتاغون المنتظم إلى قطره. وأيضًا ، تقطع الأقطار بعضها البعض في النسبة الذهبية. يصف Pentagram النجم الذي يشكل أجزاء من العديد من الأعلام.

تقع عيون وزعانف وذيل الدلفين عند أقسام ذهبية على طول الجسم.

حتى الحمض النووي يعرض النسبة الذهبية.

النسبة الذهبية في العمارة

كثيرًا ما تُرى النسبة الذهبية في الهندسة المعمارية. يمكن العثور عليها في الهرم الأكبر في مصر. محيط الهرم مقسومًا على ضعف ارتفاعه الرأسي هو قيمة ɸ.

يظهر القسم الذهبي في العديد من نسب البارثينون في اليونان. الارتفاع الأمامي مبني على القسم الذهبي.

فيبوناتشي في المسافة

خذ أي رقمين متتاليين من هذه السلسلة كمثال 13 و 21 أو 34 و 55.

الآن العدد الأصغر بالأميال = الرقم الآخر بالكيلومتر أو العدد الأكبر بالكيلومترات = الرقم الأصغر بالأميال (والعكس بالعكس).

34 ميلاً = 54.72 كيلومتر = 55 كيلومتر

21 كيلومتر = 13.05 ميل = 13 ميلاً

بالنسبة للمسافات التي لا تمثل قيمًا دقيقة فيبوناتشي ، يمكنك دائمًا المتابعة عن طريق تقسيم المسافة إلى قيمتين أو أكثر من قيم فيبوناتشي.

على سبيل المثال ، لتحويل 15 كم إلى أميال ، يمكننا المضي قدمًا على النحو التالي:

15 كم = 13 كم 2 كم

13 كم -> 8 ميل

2 كم -> 1 ميل

15 كم -> 8 1 = 9 ميل

مثال آخر ، لتحويل 170 كم إلى أميال ، يمكننا المضي قدمًا على النحو التالي:

170 كم = 10 * 17 كم

17 كم = 13 كم 2 كم 2 كم = 8 1 1 ميل = 10 أميال (تقريبًا)

الآن ، 170 كم = 10 * 10 أميال = 100 ميل (تقريبًا)

فيبوناتشي في الترميز

يعد تسلسل فيبوناتشي والنسبة الذهبية مؤخرًا ذا أهمية كبيرة للباحثين في العديد من مجالات العلوم بما في ذلك فيزياء الطاقة العالية وميكانيكا الكم والتشفير والترميز. لقد وجد أن الاتصال يمكن تأمينه باستخدام أرقام فيبوناتشي. يتم وصف تطبيق مماثل لـ Fibonacci في Cryptography هنا من خلال توضيح بسيط.

افترض أن الرسالة الأصلية “CODE” سيتم تشفيرها. يتم إرسالها من خلال قناة غير آمنة. يتم اختيار مفتاح الأمان بناءً على رقم فيبوناتشي. يمكن اختيار أي حرف كأول مفتاح أمان لإنشاء نص مشفر ومن ثم يمكن استخدام تسلسل فيبوناتشي.