أكبر الأرقام المعروفة

إذا كنت قد سألت يومًا عن أكبر رقم خلال درس الرياضيات ، فمن المحتمل جدًا أن يأتي أحدهم بإجابة: “هذا سهل! إنه اللانهاية بالطبع! “

المشكلة الوحيدة في اللانهاية هي أنها ليست رقمًا في حد ذاته ، كما يتضح من الحقيقة التالية.

اللانهاية 1 = اللانهاية وحتى اللانهاية ^{اللانهاية sup> = اللانهاية.}

علاوة على ذلك ، اللانهاية ليست رقمًا ثابتًا. إنه مفهوم. وهو أكبر رقم تحاول التفكير فيه. ثم ما هو أكبر عدد معروف للبشر؟

في اليونان القديمة ، افترض عالم الرياضيات أرخميدس أن أكبر عدد سنحتاجه على الإطلاق سيكون مجموع حبيبات الرمل في الكون.

أكبر الأرقام المعروفة

دعونا نلقي نظرة على بعض أكبر الأرقام المعروفة للبشر.

1. Googol

إنه عدد كبير وكبير بشكل لا يمكن تصوره. من السهل الكتابة بالصيغة الأسية: 10 ¹⁰⁰ ، طريقة مضغوطة للغاية ، لتمثيل أكبر الأرقام بسهولة (وأيضًا أصغر الأرقام).

يمكنك أيضًا تقديمها بالتنسيق الكامل بأقل جهد: “واحد” متبوعًا بمائة “أصفار”. ومع ذلك ، في شكله الأسي ، يمكن قراءته بسهولة ؛ في الشكل الكامل ، قد تفقد عدد المرات التي تحتاج فيها لاستخدام المصطلح ، “مليار” في “عشرة مليارات مليارات المليارات من المليارات من…. إلخ.”.

على أي حال ، لا يمكننا حتى أن نبدأ في تقدير المدى. حتى مع وجود googol واحد فقط ، فإننا نواجه عددًا أكبر من أي شيء يستخدم لوصف الكون الذي نفهمه. مجرتنا ، على سبيل المثال ، تتكون من حوالي مائة مليار نجم. في الشكل الأسي ، حوالي 10 نجوم ¹¹ . كتلة الشمس 2 × 10 ³³ جرامًا.

باستخدام هذا القياس كمتوسط كتلة نجم ، يمكننا تحديد أن الكتلة (المرئية) لمجرة مجرتنا تبلغ حوالي 10 ⁴⁵ جرامًا. داخل الكون ، هناك حوالي مائة مليار مجرة ، وهو رقم يمكن مقارنته بعدد النجوم في مجرتنا.

لذلك قمنا معًا بتجميع حوالي 10 ⁵⁶ -10 ⁵⁷ من المادة. تتكون هذه المادة أساسًا من باريونات (بروتونات ونيوترونات) متصلة بنواة الذرات ، والتي تتراوح من الهيدروجين إلى اليورانيوم (من بين أمور أخرى) ، تشكل جزءًا من كوننا.

عند حساب الكتلة ، يمكن بسهولة تجاهل الإلكترونات ، التي تزن واحدًا من ألفين من النيوكليونات. مع الأخذ في الاعتبار أن كتلة البروتون (والنيوترون) هي 1.7 × 10 ^-24 جم ، يمكننا معرفة أن عدد الباريونات الموجودة في الكون يبلغ تقريبًا 10 ^{80 سوب>.}

عدد كبير ، ولكنه أصغر بكثير من googol ؛ لنكون دقيقين ، جزء من مائة من المليار من المليار من googol. يوجد عدد أكبر من النيوترينوات والفوتونات ، ولكن حتى أعدادها أصغر بكثير من googol. لتجاوز googol ، يجب أن ننتقل إلى أكبر حاوية نعرفها وأصغر جزء نسبي لها.

أصغر طول نعرفه من حيث الفيزياء هو طول بلانك . يساوي 1.6 × 10 ^-33 سنتيمترًا. في السنتيمتر المكعب ، يوجد 2.5 × 10 ⁹⁸ مكعبًا ، يقيس جانبها طول بلانك. ولا حتى عُشر googol.

داخل الكون بأكمله ، الذي يبلغ نصف قطره حوالي 10 ²⁸ سم ، هناك ما يقرب من 10 مكعبات ¹⁸⁴ بلانك. هذا الرقم – عدد مكعبات بلانك في الكون – هو على الأرجح أكبر رقم يمكننا تقديمه لكيان داخل العالم المادي.

إذا وضعنا الحجم المادي جانبًا وظلنا في مجال التجريد الرياضي ، فإننا نعرف بعض الأعداد الأولية لميرسين التي تتجاوز googol ، بدءًا من 2 ⁵²¹ – 1 (الذي يتضمن 157 رقمًا) وينتهي بـ 2 ^43.112،609 – 1 والذي يتضمن 13 مليون رقم والذي يُعتقد أنه الأكبر بين الأعداد الأولية المعروفة في مرسين (ومع ذلك سنكتشف المزيد في المستقبل بلا شك).

لقد تمكنا من تجاوز googol ، لكننا ما زلنا نتعامل مع أعداد صغيرة بالمقارنة مع googolplex.

2. Googolplex

إن googolplex يساوي في الواقع 10 ^googol ولا يمكن كتابته إلا بالتنسيق الأسي. يمكن أيضًا كتابة googol ، الذي يساوي 10 ¹⁰⁰ ، بالشكل 10 ^{10 ^ 2} ؛ يمكن أيضًا كتابة رقم مكعب بلانك القابل للاحتواء داخل الكون كـ 10 ^{10 ^ 2،27} ، ومع ذلك ، فإن googolplex هو 10 ^{10 ^ 100} !

لن يكون الورق أو الحبر كافيين فحسب ، ولكن لا توجد مساحة أو وقت كافيين لتتمكن من كتابة googolplex بتنسيقه الكامل. حتى لو كتبت كل شخصية باستخدام أحرف مصغرة ، صغيرة جدًا بحيث يمكن وضعها في مكعب بلانك ، فلن تكون هناك مساحة كافية في الكون بأكمله ، والذي ، كما رأينا ، يحتوي ، على أقصى تقدير ، على مساحة كافية لكتابة أول 10 ¹⁸⁴ شخصية.

ومع ذلك ، نحن بحاجة إلى المزيد من الأرقام! في المقابل ، يمكن اعتبار googolplex ، على الرغم من أنه يساوي 10 ⁹⁸ أكبر من googol ، عددًا أصغر ، على سبيل المثال عند مقارنته بما يعتبر أكبر رقم تم استخدامه على الإطلاق في سياق رياضي ، المعروف باسم G ، رقم جراهام.

3. عدد الانحرافات

رقم Skewes هو رقم كبير مشهور ، يُعطى عادةً كـ 10 ^{10 ^ 10 ^ 34} ، وقد اشتُق لأول مرة في عام 1933 بواسطة عالم الرياضيات الجنوب أفريقي Stanley Skewes في إثبات يتضمن الأعداد الأولية. ج. هاردي ذات مرة وصف رقم Skewes بأنه “أكبر رقم يخدم أي غرض محدد في الرياضيات” ، على الرغم من أنه فقد هذا التمييز منذ فترة طويلة.

جاءت أرقام الانحرافات – يوجد اثنان منهم بالفعل – من دراسة التكرار الذي تحدث به الأعداد الأولية. تقدير Gauss المعروف لعدد الأعداد الأولية الأقل من أو يساوي n ، pi ( n ) ، هو التكامل من u = 0 إلى u = n من 1 / (log u ) ؛ يسمى هذا التكامل لي ( ن em>).

في عام 1914 ، أثبت عالم الرياضيات الإنجليزي John Littlewood أن pi ( x ) – Li ( x ) تفترض قيمًا موجبة وسالبة في كثير من الأحيان. بالنسبة إلى جميع قيم n حتى 10 ²² ، وهو ما يصل إلى حد تجاوز الحسابات حتى الآن ، تحول Li ( n ) إلى يكون مبالغا فيه. لكن النتيجة التي توصل إليها ليتلوود أوضحت أنه فوق بعض قيمة n تصبح قيمة أقل من قيمتها ، ثم عند قيمة أعلى من n تصبح مبالغة في التقدير مرة أخرى ، وهكذا. هذا هو

أظهرت الانحرافات أنه إذا كانت فرضية Riemann صحيحة ، فلا يمكن أن يكون التقاطع الأول أكبر من e ^{e ^ ه ^ 79} . يسمى هذا الرقم الأول أو رقم Riemann true Skewes. عند تحويلها إلى الأساس 10 ، يمكن تقريب القيمة كـ 10 ^{10 ^ 10 ^ 34} ، أو بشكل أكثر دقة 10 ^{10 ^ 8.852142 × 10 ^ 33} أو 10 ^{10 ^ 8852142197543270606106100452735038.55} .

في عام 1987 ، قام عالم الرياضيات الهولندي هيرمان تي رييلي بتخفيض الحد الأعلى للعبور الأول بشكل كبير إلى e ^{e ^ 27/4} ، أو ما يقرب من 8.185 × 10 ³⁷⁰ ، في حين أن Bays and خفض هدسون الحد الأعلى وهو 10 ³¹⁶ . على أية حال ، فإن “رقم السيخ” الأصلي أصبح الآن ذا أهمية تاريخية فقط. حددت الانحرافات أيضًا الحد إذا كانت فرضية ريمان خاطئة: 10 ^{10 ^ 10 ^ 1000} . يُعرف هذا برقم السيخ الثاني.

4. رقم جراهام

رقم جراهام هو رقم ضخم يحير العقل. هذا الرقم أكبر من عمر الكون ، سواء تم قياسه بالسنوات (14 مليار سنة تقريبًا) أو بالثواني (4.3 ” src=”https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2716.svg”> 10 ¹⁷ ثانية).

عدد غراهام أكبر من عدد الذرات في الكون المرئي ، والذي يُعتقد أنه يتراوح بين 10 ⁷⁸ و 10 ⁸² .

وهو أكبر من Googol الشهير ، 10 ¹⁰⁰ (1 متبوعًا بـ 100 صفر) ، والذي حدده عالم الرياضيات الأمريكي إدوارد كاسنر في عام 1929 وأطلق عليه اسم- ابن أخ قديم ، ميلتون سيروتا. حتى شركة Google تم تسميتها بهذا الرقم ، على الرغم من أنها أخطأت في التهجئة!

رقم جراهام أكبر أيضًا من Googolplex ، وهو 10 ^googol = ₁₀ 10 ¹⁰⁰ .

رقم Graham أكبر بكثير من العديد من الأرقام الكبيرة الأخرى مثل عدد Skewes ورقم Moser ، وكلاهما أكبر بكثير من googolplex. كما هو الحال مع هؤلاء ، فهو كبير جدًا لدرجة أن الكون المرئي يحتوي على تمثيل رقمي عادي لرقم جراهام ، بافتراض أن كل رقم يحتل حجم بلانك (10 ^ (- 35) سم) em> ، ممكن أصغر مساحة قابلة للقياس. ولكن حتى عدد الأرقام في هذا التمثيل الرقمي لرقم جراهام سيكون i

₃ 3 ³ = 3 ²⁷ = 7،625،597،484،987 و 3 ^{7،625،597،484،987} هو رقم Graham.

انظر إلى الأرقام التالية مقارنةً برقم غراهام:

10⁸: عدد الكتب المنشورة في تاريخ البشرية.

10¹⁰: سنوات منذ الانفجار العظيم وعدد الثواني منذ أن عاش يسوع المسيح.

10¹¹: عدد النجوم في مجرة درب التبانة.

10¹⁷: عدد الثواني منذ الانفجار العظيم.

10⁸⁰: تقدير مشترك لعدد الذرات في الكون.

10¹⁰⁰: عدد رمال الحبوب التي يمكن أن تتناسب مع الكون.

10¹²²: عدد البروتونات التي يمكنك وضعها في الكون.